ارائه روشي جهت رتبهبندي اهميت و تأثير متغيرهاي تصادفي بر احتمال خرابي سازهها

محسن راشکي، محمود ميري* و مهدي اژدريمقدم دانشگاه سيستان و بلوچستان، دانشکده مهندسي، گروه عمران

(دريافت مقاله: ٢٨/٥/١٣٩٢- دريافت نسخه نهايي:١١/١٠/١٣٩٢)

چكيده – در مقاله حاضر با استفاده از خصوصيات آماري متغيرها در نقطه طراحي و مود، روش جديدي جهت رتبهبندي متغيرهاي تصادفي در فضاي اصلي ارائه شده است. در اين روش نياز به مشتقگيري از تابع شرايط حدي برطرف شده و روش تنها نيازمند در اختيار داشـتن مختصـاتنقطه طراحي است. همچنين بهمنظور تعيين نقطه طراحي در فضاي اصلي، الگوريتمي با استفاده از يك روش وزني و روش اجتماع ذرات ارائه شده است كه امكان تعيين نقطه طراحي را بدون استفاده از نگاشت و با دقت بالا فراهم ميسازد. توانايي و دقت روش با حل چندين مسـ أله عـددي ومهندسي مورد ارزيابي قرار گرفته است. مقايسه نتايج با جواب دقيق هر مسأله بيانگر كارايي روش ارائه شده در حل مسـائل مختلـف مهندسـي است.
واژگان كليدي: قابليت اطمينان، متغير تصادفي، رتبهبندي، نقطه طراحي.

A Method to Rank and Measure the Importance of Random Variables on Failure Probability of Structures

M. Rashki, M. Miri* and M. Azhdary Moghaddam
Department of Civil Engineering, Faculty of Engineering, University of Sistan and Baluchestan

Abstract: In the present study, by employing the statistical properties of random variables at design point and mode a new method is presented to rank random variables in original space. This method obviates the need for derivation from limit state function and just needs to know the coordinate of design point. Also, in order to determine design point in the original space, an algorithm based on a weighted method and particle swarm optimization method is presented providing the possibility of determining design point accurately without mapping. Robustness and accuracy of the proposed methods is evaluated by solving some numerical and engineering problems. The obtained results compared with exact solutions confirm the efficiency of the proposed methods for solving various engineering problems. Keywords: Reliability, random variable, ranking, design point.

69302-21187

* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: mmiri@eng.usb.ac.ir

فهرست علائم

سرعت ذره در روش اجتماع ذرات V متغير تصادفي در فضاي نرمال استاندارد U
تابع توزيع احتمال نرمال استاندارد Φ تابع شرايط حدي G
شاخص قابليت اطمينان β متغير تصادفي در فضاي اصلي X
فاکتور حساسيت تابع چگالي احتمال f
ميانگين متغير تصادفي μ تابع توزيع احتمال F
انحراف معيار متغير تصادفي σ وزن نمونه ها w
نسبت وزن چگالي ξ موقعيت ذره در روش اجتماع ذرات x
١- مقدمه
بررسي حساسيت احتمال خرابي به متغيرهاي تصادفي در يـکسيستم سازهاي از نکـات کليـدي و مهـم در طراحـي بهينـه وهمچنين سادهسازي مسائل با تعـداد متغيرهـاي تصـادفي زيـاداست. عمومًاً در مباحث طراحـي بـر اسـاس قابليـت اطمينـان،طراح علاوه بر برآورد احتمال خرابي، در پي يافتن اهميت هـريک ازمتغيرها در مسأله و تـ أثير آن بـر احتمـال خرابـي سـازه است. چنانچه تأثير متغيـر تصـادفي بـر احتمـال خرابـي جـزءسازه اي ناچيز باشد، ميتوان به منظور سـاده سـازي و کـاهشابعاد مسأله آن متغيـر را بـهصـورت قطعـي در نظـر گرفـت وچنانچه ميزان اثر زياد باشد، بايد آن را در مسأله حفظ نموده و در روند طراحي سازه از اثر آن متغير استفاده كرد [١].
روش هاي عدديسال
روشهايي که بهمنظور آناليز حساسيت و رتبهبنـدي متغيرهـايتصادفي مورد استفاده قرار مي گيرند اکثـر ًا بـر پايـه روشهـايقابلي ت اطمينان متن اظر استوار بوده و به دو گ روه کلي تقسيم بندي مي شوند: ۱) آناليز حساسيت بر مبنـاي روش هـايتخميني (نظير روشهاي قابليت اطمينان مرتبه اول۱ و ۲) آناليز حساسيت بر مبناي روشهاي شـبيه سـازي (نظيـر شـبيهسـازيمونت کارلو٢) [٢ و٣]. در روشهاي تخميني قابليـت اطمينـان،موضوع کليدي جهت حل مسأله، استفاده از يک تخمين خطـي از تابع شرايط حدي حول نقطه طراحي۳ و انتقال آن به فضـاينرمال استاندارد است. مطابق تعريف ارائه شده توسط هاسـوفدو ليند، نقطه طراحي نقطهاي روي تابع شرايط حدي است کـهکمترين فاصـله را از مبـدأ در فضـاي نرمـال اسـتاندارد داشـتهباشد، اين نقطه همچنين با عنـوان نقطـه بـا بيشـترين احتمـالوقوع خرابي٤ نيز شناخته ميشود. اين نقطـه (و ناحيـه اطـرافآن) دربردارنده اطلاعات مهمي در مورد احتمال خرابـي سـازهاست [۴و٥]. در روشهاي مرتبه اول، فاصله اين نقطه تـا مبـدأ بهعنوان شـاخص قابليـت اطمينـان٥مسـأله (β) در نظـر گرفتـهمي شود که توسط رابطهPf  ( ) امکـان تخمـين احتمـالخرابي سازه را فراهم ميسازد. يک ويژگي مهم و اساسـي ايـنروشها، فراهم آوردن اطلاعـاتي در مـورد اهميـت متغيرهـايتصادفي در مسأله قابليت اطمينان، بدون نياز بهانجام محاسبات اضافي است. اين اطلاعات در اغلب اين روشها (کـه اکثـرً ًا از روشهاي جستجوي گرادياني براي يافتن نقطـه طراحـي بهـرهميبرند) قابل حصول بوده و شامل برداري است کـه در حـينروند جسـتجو بـراي يـافتن نقطـه طراحـي بـه دسـت مـي آيـد(به عنوان مثال در روش معادلات همزمـان مرتبـه اول از آن بـاعنوان بردار آلفا و فاکتورهاي اهميـت 6 يـا د مـي شـود ) [6]. بـااستفاده از مقادير اين بردار، متغيرهاي تصادفي بهلحاظ اهميـت در مسأله قابليت اطمينان رتبهبندي شده و در رونـد طراحـي ونيز ساده سازي مسأله به كار گرفته مـي شـوند . بـراي يـک تـابعشرايط حدي خطي سازي شده، روشهاي تخميني مرتبـه اولفاکتور اهميت (αi) را بهصورت تـابعي از مشـتق تـابع شـرايطحدي ارائه ميدهند. ايـن فاکتورهـاي اهميـت در واقـع همـانبردار کسينوسهاي هادي در فرايند جسـتجو هسـتند کـه بايـدرابطــــه 1212    22…n را ارضــــاء کننــــد [٧].
بدين ترتيب در رابطه مزبور متغير با بزرگترين فـاکتور اهميـت،بيشـترين اثـر را در تعيـين شـاخص قابليـت اطمينـان مسـأله (و متعاقبــًاً احتمــال خرابــي ) بــههمــراه خواهــد داشــت و برعکس.

عليرغم سادگي، اين روشهاي تخمينـي در محاسـبه نقطـهطراحي داراي معايبي از جمله وابستگي پاسخ به نقطـه شـروعجستجو، لزوم خطيسـازي تـابع شـرايط حـدي، لـزوم انتقـالمتغيرها به فضاي نرمال استاندارد و نيز همگرا شدن بـه پاسـخموضعي بـراي مسـائل بـا چنـدين نقطـه طراحـي هسـتند [٨].
بهمنظور غلبـه بـر برخـي از مشـکلات مطـرح شـده، محققـانکارايي روشهاي حساسـيت را طـي سـه دهـه گذشـته بهبـودبخشيده و روشهاي نويني جهت آنـاليز حساسـيت مبتنـي بـرروشهاي تخميني ارائه نموده انـد. هـوهنبيچلر و رکـو يتز [۹]، مادسن و همکاران [۱۰]، جراگر وکرنک [۱۱] و کرمچنـدان ي و کرنل [۱۲] روشهاي آناليز حساسـيت قابليـت اطمينـان را بـراساس روشهاي مرتبـه اول و دوم گسـترش دادنـد. همچنـينروش مؤثري جهت بهبود روشهاي حساسيت مرتبه اول براي توابع غيرنرمال توسط ژانگ و يانگارائه شده است [٣۱]. ملچـرو احمد نيز يک روش سريع با استفاده از ترکيـب روش مرتبـهاول و مونت کـارلو جهـت بـرآورد نتـايج حساسـيت قابليـتاطمينان ارائه نمودهاند که قادر به حل مسائل بـا تو ابـع چگـالياحتمال متفـاوت، با دقت ي بالا است [٤۱]. با اسـتفاده از روش هاي مرتبه دوم نيز تا حدودي مشکل خطـي سـازي تـابعشرايط حدي و تخمين احتمال خرابي در روشهـاي تخمينـيبرطرف شده و محققـان مختلـف تحقيقـاتي جهـت اسـتخراجنتايج حساسيت با استفاده از اين روشها انجام داده انـد. لـيکندر اين روشها، پيچيدگي محاسبات اغلب بر دقت آنها غالب بوده و نيز اين روشها نسبت بهروشهاي شبيهسازي از دقـتپايينتري برخوردار هستند [٨]. بايد توجه داشت که با وجـودپيشرفتهاي مناسـب، اغلـب روشهـاي ارائـه شـده فـوق ازالگوريتمهاي کلاسيک بهينهسـاز جهـت يـافتن نقطـه طراحـياستفاده ميکننـد . بـا توجـه بـه ايـن موضـوع، تضـميني بـرايهمگرايي الگوريتم بـه كـار رفتـه جهـت تعيـين نقطـه طراحـيصحيح براي توابع شرايط حدي پيچيده وجود نـدارد . در سـال۲۰۰۵، الگبده روشي براي يافتن نقطـه طراحـي بـا اسـتفاده ازمفهوم موجود در روشهاي مرتبه اول و نيـز ر وش جسـتجوياجتماع ذرات ارائه نمود [٥۱]. اين روش تا حد زيادي مشـکلموجود در همگرايي به پاسخ در روشهاي کلاسيک مرتبه اول موجود را بهبـود بخشـيد، لـيکن لـزوم اسـتفاده از نگاشـت وخطاهاي احتمالي حاصل از آن هنوز هم در ايـن روش وجـوددارد. همچنين، روش ارائه شـده توسـط الگبـد ه توانـايي ارائـهفاکتورهـاي اهميـت و رتبـهبنـدي متغيرهـاي تصـادفي مسـأله قابليت اطمينان را ندارد.
در مقاله حاضر، نقطه طراحي به شکلي متفـاوت از مفهـومارائه شده توسط روشهاي تخميني مورد جستجو قـرار گرفتـهاست. براي اين منظور، از ترکيـب روش وزنـي ارائـه شـده درمرجع [۱6] و روش جستجوي اجتماع ذرات براي تعيـين ايـننقطه در فضاي اصلي استفاده شده است. بدين ترتيـب مشـکلاستفاده متوالي از نگاشتها براي متغيرهـاي تصـادفي و انتقـالتابع شرايط حدي به فضاي نرمال استاندارد برطرف شده است.
اين ويژگي سبب ميشود خطاهاي احتمالي جهت تعيين نقطـهطراحي تا حد زيادي کـاهش يابـد. عـلاوه بـر آن، يـک روشمؤثر جهت ارزيابي اهميت متغيرهاي تصادفي و رتبهبندي آنهـ ا بدون نياز به فراخواني تابع شرايط حـدي و مشـتقات آن ارائـهشده، که در آن تنها از خصوصـيات آمـاري متغيرهـا در نقطـهطراحي و مود استفاده شده است. روش رتبه بنـدي پي شـنهاديپس از معرفي الگوريتم ترکيبي (جهت تعيـين نقطـه طراحـي) ارائه شده است.

٢- الگوريتم ترکيبي پيشنهادي جهـت تعيـين نقطـه طراحي
روش معمول برآورد نقطه طراحي در روشهاي مرتبه اول، يافتن نقطهاي برروي تابع شرايط حدي است، بهگونهاي که اين

شکل ١- حرکت يک ذره در روش بهينه سازي اجتماع ذرات

نقطه کمترين فاصله را نسبت به مبدأ در فضاي نرمال اسـتاندارددارا باشد. براي اين منظور از يک الگوريتم بهينهساز٧ بهصـورتزير در مسأله قابليت اطمينان استفاده ميشود:
d
481584-164529

Min  i 1 Ui2
0Subject to g(X) = که در آن Ui مقدار متغير تصادفي i ام در فضاي نرمال استاندارد، d تعداد متغيرهاي تصادفي و g مقدار حاصله براي تابع شـرايطحدي مسأله است[۶ و١٧]. براي ايـ ن منظـور چنانچـه متغيـريداراي تابع توزيع غير نرمال باشـد، روش مـذبور بـا اسـتفاده ازنگاشتهاي مختلف متغير را به فضاي نرمـال اسـتاندارد انتقـالميدهد که سبب افزايش قابل توجه درجه غيرخطي تابع شرايط حدي شده و متعاقبا کاهش دقت محاس ـبات را در پـ ي خواهـدداشت. اخيرًا يک روش مؤثر شبيه سازي وزنـي جهـت تخمـيناحتمال خرابي و نيز نقطه با بيشترين احتمال خرابـي در مرجـع[١6] ارائه شده است که علاوه بر توانمندي در حـل مسـائل بـاتوابع شرايط حدي پيچيده، مشکل نياز به استفاده از نمونههـايزياد در روش مونت کارلو را نيز مرتفع نمـوده اسـت. در مقالـهحاضر از روش ارائه شده در مرجع مذکور جهت بـرآورد نقطـهبا بيشترين احتمال خرابي در فضاي اصلي بهصورت زيـر بهـرهگرفته شده است:
s
Max W  i 1 PDF (i i,i),Subject to g(X) = 0
در رابطه فوق s تعداد متغيرهاي تصادفي مسأله قابليت اطمينـانوPDF(i,i ) مقدار تابع چگالي احتمال متغيـرi ام بـا ميـانگينi و انحـراف معيـار  اسـت. بـدين ترتيـب هـدف مسـأله ب هينهسازي فوق، يافتن بيشترين مقدار حاصلضرب تابع چگالي احتمال بر روي تابع شـرايط حـدي اسـت. در ايـن تحقيـق، ازالگوريتم اجتماع ذرات٨ بهعنوان موتور جستجوگر مسأله قابليت اطمينان استفاده شده است. سـادگي روش، همگرايـي سـريع وتوانمندي بـالا در حـل مسـائل پيچيـده بهينـهسـازي از جملـهخصوصيات روش اجتماع ذرات است که آن را بـهعنـوان يـکجايگزين مناسب براي روش هاي کلاسيک بهينهسـازي تبـديلنموده است [١٨]. بر اساس ويژگيهاي ذکـر شـده، ايـن روشبهينهسازي بهعنوان جايگزين روشهاي گرادياني جهـت يـافتننقطه طراحي بهکار گرفته شـده اسـت. ايـن الگـوريتم از رفتـاراجتماعي پرندگان در حين جستجوي غذا براي هدايت مجموعه پرندگان به منطقه اميد بخش در فضاي جستجو استفاده کـرده وبا به هنگام کردن موقعيت پرندگان با توجه بهميـزان شايسـتگيآنها، مجموعه را بهسمت جواب بهينه هدايت ميکند. براي ايـنمنظور، الگوريتم با يک گـروه از جـوابهـاي تصـادفي شـروع بهکار ميکند. فرآيندجستجو در اين روش شامل يک روند مبتني بر تکرار است که در آن هـر ذره موقعيـت خـود را بـر اسـاستجربيات خود، مشاهدات ساير ذرات و نيز يک حرکت تصادفي بهبود ميبخشد. اين روند براي مجموعه ذرات با بههنگام کردن موقعيت x توسط رابطه (٣) و سرعت v توسـط رابطـه (٤)، تـاهمگرايي مجموعه ذرات به يک پاسخ واحد ادامه مييابد: (3) ١ ,x, ١ x, v
vi,g(t1)  wvi,g c Rand()1pbesti,g  x i,gt 
(t) (4)
c Ra2 nd()gbesti,g  xi,g در رابطه فوق t موقعيت زماني ذرات، pbest بهتـرين مـوقعيتياست که ذره i ام در طول اجراي الگوريتم ميتواند کسب کند و gbest بهترين موقعيتي را که ذرات در طـول اجـراي الگـوريتمکسب کردهاند نشان ميدهـد . در ايـن رابطـه ضـرايب1w، c2، c بهترتيب پارامترهاي شناخت فردي، شناخت اجتماعي، ضـريبلختي بـوده و ()Rand عـددي تصـادفي در بـازه [١-٠] اسـت .
ر وشهاي عدديسال
انتخاب مقادير براي سه پارامتر اول معمولا تجربي است. مرجع [١٥] مقـادير ٥/١، ٢/١ و ٧٥/٠ را بـهترتيـب بـراي پارامترهـاي
1w ، c2 ،c پيشنهاد نموده است. شکل (١) روند بههنگام نمـودنموقعيت ذره را بهصورت شماتيک نمايش ميدهد.
براساس توضيحات فوق، الگوريتم پيشنهادي جهـت يـافتننقطه طراحي در فضاي اصلي مسأله بـا اسـتفاده از روش ذرات بهصورت زير خواهد بود:
۱) اختيار کردن ۱t
۲) توليد بردار x بهصورت تصادفي در محدوده جستجو
۳) تعيين مقدار وزن ذرات بر اساس رابطـه (٢) و انتسـاب ايـن
i1,2, … . . براي pbest مقدار متغير به
.gbest=max(w) بهصورت gbest t تعيي ن مقدار (۴
۵) محاسبه مقدار ,v با استفاده از رابطه
۶) بررسي شرط بيشترين مقدار براي رابطه
vi,gt 1  vi,gmax then vi,g(t1)  vi,gmax
۷) محاسبه مقدار,x را با استفاده از رابطه (٣)
۸) تغيير pbest را براساس دستورات زير:
for i 1: n
if w(pbest )then pbesti,gi w(xx(ti,g(1)t1))
i,g

۹) تغيير gbest را براساس دستورات زير:
for i 1: n if w gbesti  max w pbest i  (7)
then gbest  pbesti
۱۰) اختيار کردن مقدار t= t +1
۱۱) بررسي شرط پايان مراحل و تعيين نقطه طراحي ( x):
if t  tmax
go to step 6 
else xdesign point  gbestالگوريتم ارائه شده فوق را ميتوان حالت اصلاح شده الگوريتم اجتماع ذرات در مرجـع [١٥] دانسـت . در حـالي کـه در روشپيشنهادي جستجو در فضاي اصلي مسأله انجام ميگيـرد، روشارائه شده در مرجع [١٥] در گام دوم موقعيت هر ذره را توسـطنگاش ته ايي ب ه فض اي نرم ال اسـتاندارد منتقـل م ي کن د.
متداول ترين روش انتقال موقعيت يک متغير غيرنرمال بـه متغيـرنرمال استاندارد معادل در يک مسأله قابليت اطمينان، اسـتفاده ازروش ارائه شده توسط رکويتز و فيسلر بوده که به صـورت زيـر ارائه شده است:
 ex

f (x )x 1 *   1(Fx(x*))
297180406728

   ex x* ex  1(Fx(x*))U x*ex ex (11)
در روابط فوق μxe و σxe مقادير ميانگين و انحراف معيار متغير *x بوده، fx و Fx بهترتيب تابع چگالي و توزيع تجمعـي احتمـال آنمتغير و پارامترهاي φ و Φ بهترتيب تابع چگالي و توزيع تجمعي احتمال نرمال استاندارد هستند [۶ و ٧]. بدينترتيب بـا محاسـبهمقادير انحراف معيار و ميانگين معادل نرمال با استفاده از روابـط(٩) و (١٠)، انتقال متغير به فضاي نرمال استاندارد توسـط رابطـه
صورت ميپــذيرد. مرجع [١٩] نشان داده است کهبه كارگيري نگاشت حتي براي توابع شرايط حدي خطي نيز سبب بروز خطاهاي بـزرگ (حـدود ۳۵ درصـد ) در ارزيـابي احتمـالخرابي سازه خواهد شد. استفاده از روابط فوق خصوصـ ًاً زمـانيکه تابع چگالي حاصل براي يک متغير (با انجام آزمايش و داشتن جامعه آماري)، جزء توابع احتمـال شـناخته شـده نباشـد بسـياردشوار خواهد بود ( بهعنوان مثال حالتي کـه هيسـتوگرام فراوانـينسبي يک متغير داراي چندين قله است). در چنين مواقعي اغلب يک تابع چگالي تخميني جايگزين تابع واقعي ميشود که متعاقبًاً خطا در انجام محاسبات را بههمراه خواهد داشت.
تفـــاوت ديگـــر دو روش در گـــام ســـوم الگـــوريتم (ارزيـابي شايسـتگي بـر اسـاس تـابع هـدف مسـأله) اسـت. بـدين ترتيـب کـه در روش ارائـه شـده توسـط مرجـع [١٥]، هدف يافتن کمترين مقدار شاخص قابليت اطمينان در فضـاينرمــال اســتاندارد اســت لــيکن در روش پيشــنهادي هــدف

شکل ٢- افزايش درجه غير خطي تابع شرايط حدي معادل براي متغيرهاي غير نرمال

شکل ٣- محاسبه بردار آلفا در روش مرتبه اول قابليت اطمينان

يافتن بيشترين وزن در فضاي اصلي مطـابق رابطـه (٢) خواهـدبود. از آنجـا کـه لـزوم اسـتفاده از نگاشـت (بـراي متغيرهـايغيرنرمال) درجه غيرخطي تابع را افزايش ميدهد، لذا در روش پيشنهادي تابع هدف درجه غيرخطي کمتري نسـبت بـهحالـتمعمول خواهد داشت. ايـن موضـوع در شـکل (٢) نشـان داده شده است.

٣- روش پيشـنهادي جهـت رتبـه بنـدي متغيرهـاي تصادفي
در محاسبه بـردار آلفـا در روش مرتبـه اول قابل يـ ت اطمينـان (FORM)، فاصله نقطه طراحي از مود٩ (نقطهاي که بيشـترينفراواني نسبي را در تابع توزيع احتمال يـک متغيـر داراسـت) مبناي تصميمگيري در مورد اهميت متغيرها در مسأله قابليـتاطمينان است. در اين روش، با انتقال متغيرها به فضاي نرمـالاستاندارد و استفاده از رابطه (١٢)، متغيري که بيشترين فاصله را از مبدأ فضاي نرمال استاندارد داشته باشـد، حسـاستـرينمتغير مسأله درنظر گرفته مي شود.
44658979372

αiForm=β Ui β=cte αi ∝Ui
Form
متعاقبًاً افزايش فاصله از مود در تـابع چگـالي احتمـال نرمـال،کاهش فراواني نسبي متغير را در پي خواهد داشت. اين موضوع در شکل (٣) براي دو متغير در فضاي نرمال استاندارد نشان داده شده است:
 iUi 

PDF1 i
مطابق توضيحات فوق، ايده فاصله از مود مبناي محاسبه اهميت متغيرهـا در روش پيشـ ـنهادي اسـت. در روش پيشـ ـنهادي، حساسيت هـر متغيـر بـر اسـاس نسـبت ميـان مقـدارPDF آن متغير در نقطـه طراحـي (MPP) بـهمقـدارPDF در مـود متغيـر مذکور تعريـف شـده اسـت. بـا انجـام ايـن کـار، يـک نسـبت نرمال شده براي تمام متغيرهـاي مسـأله بـه دسـت خواهـد آمـدکه امکان مقايسه حساسيت ميان متغير هاي مسأله را امکانپـذيرميسازد بدون آنکه نيـازي بـه فراخـواني تـابع شـرايط حـدي،خطيسازي و يا اسـتفاده از مشـتقات آن باشـد. بـراي محاسـبهحساسـيت هـر پـارامتر، در ابتـدا بـراي هـر يـک از متغيرهـاي تصادفي مسأله يک نسبت نرمال شده بـهصـورت زيـر محاسـبهميشود:

  Xi 1

PDFPDFMode XiMPP Xi
رابطه فوق براي متغير iام بيان شده و براي دو متغير موجـود درشکل (٤) بهصورت زير نوشته ميشود:

PDF
  X1 1

PDFMode XMPPX11
(15)
PDF
  X2 1

PDFMode XMPPX2
2

در اين روابط PDFMode Xi و PDFMPP Xi بهترتيب مقـادير تـابعچگالي متغير Xi در نقاط مود و MPP آن متغير تصادفي هستند.

شکل ٤- ارزيابي اهميت متغير ها بر اساس روش پيشنهادي

بدينترتيب انتظار مـي رود تغييـرات ميـانگين و انحـراف معيـارمتغيري که در نقطه طراحي، فراواني نسبي نرمال شـده کمتـرينسبت بهساير متغيرها داشته اثر بيشـتري در تغييـرات شـاخصقابليـت اطمينـان مسـأله بـههمـراه داشـته باشـد. بـدينترتيـب حساسيت هر پارامتر بر اساس روابط ارائه شده بهصـورت زيـربيان ميشود:
X

i
i
i
X
s
2
X
i1



i

i

i

X

s

2

X



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید