تحليل کمانش گرمايي يک طرفه ورق مرکب لايه لايه بر رو ي بستر
الاستيک بدون کشش
١
اميد واثقي، حميدرضا ميردامادي* و عليرضا شهيدي دانشکده مهندس ي مکانيک، دانشگاه صنعت ي اصفهان

(دريافت مقاله: ١٨/١١/١٣٩٠- دريافت نسخه نهايي: ٣/٠٨/١٣٩١)

چكيده – در اين مقاله با استفاده از روش ريليريتز و بر اساس نظريه کلاس يک ورق، کمانش گرمايي ورقهاي مـستطيلي مرکـب لا يـهلايـ ه بـر روي بـسترالاستيک بدون قابليت اعمال نيروي کشش (يکطرفه) بررسي شده است. تاثير نسبت طول به عرض ورق، زاويه چ يدمان رشتهها، شرا يط مرزي، و نـوع چيـ نش لايهها، با و بدون وجود بستر، بر روي م يزان دما ي بحران ي و شکل مود کمانش، مورد بررس ي قرار گرفته است. کليه بررسيهايي که در زمينه کمانش يـکطرفـهانجام گرفته، مختص به ورق تک لايه همسانگرد زير اثر نيروهاي درون سطح مکانيکي است. دستاوردهاي بهدست آمده با کارهايي که تاکنون انجام گرفته مقايسه شده و تطابق بسيار قابل قبولي در روش حل مشاهده شده و دقت و اعتبار روش مورد تأييد قرار گرفته است.
واژگان كليدي : کمانش گرمايي يکطرفه- ورق مرکب لايهلايه- روش ريلي-ريتز – بستر الاستيک بدون کشش

Unilateral Thermal Buckling Analysis of Laminated Composite Plates on Tensionless Elastic Foundation

O. Vaseghi, H.R. Mirdamadi and A. Shahidi

Department of Mechanical Engineering, Isfahan University of Technology, Isfahan, Iran

Abstract In this paper, using Rayleigh-Ritz method (RRM) and based on classical plate theory, thermal buckling of laminated composite rectangular plates is analyzed. Effects of plate aspect ratios, fiber orientations, and the kinds of lamination scheme with and without the foundation on the uni-lateral thermal buckling behavior are analyzed. All studies done in uni-lateral buckling field are specialized for single-layer isotropic plates which are affected by in-plane mechanical loads. The numerical results are validated very satisfactorily for the present method, with its accuracy and reliability confirmed

Keywords: Uni-lateral thermal buckling, laminated composite plate, Rayleigh-Ritz method, Tensionless elastic foundation.

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: hrmirdamadi@cc.iut.ac.ir روشهاي١٣٩٢
فهرست علائم
نيم مود کمانش ورق
تابع هاي لاگرانژي ميدان جابه جايي درون صفحه تابع هاي طبقاتي ميدان جابه جايي درون صفحه ماتريس ميدان جابه جايي کل ورق
ماتريس حاصل از گسسته سازي کرنش غشايي ماتريس حاصل از گسسته سازي کرنش خمشي تغييرات انرژي پتانسيل الاستيک ماتريس سختي ناشي از حضور بستر تابع تماسي
سختي هر فنر (معرف مدول بستر)
تغييرات انرژي کرنش نيروهاي غشايي وخمشي تغييرات انرژي پتانسيل نيروهاي درون صفحه ماتريس سختي هندسي
ماتريس حاصل از نيروهاي غشايي تغييرات انرژي پتانسيل کل ماتريس سختي کل
ماتريس سختي نيروهاي محوري
ماتريس سختي نيروهاي محوري و خمشي ماتريس سختي نيروهاي خمشي ماتريس حاصل از کرنش فونکارمن
{wˆ } بردارهاي ضرايب مجهول ميدان جابه جايي بردار کل ضرايب مجهول
مختصه هاي طبيعي (مختصه هاي بي بعد) مختصه هاي دکارتي بار بحراني کمانش نيروهاي گرمايي
شرايط مرزي آزاد، ساده و گيردار m
H ii =1,2
H ii = 3..10
[N]
[CM ] [CB ] δUe
⎡⎣Ke ⎤⎦
X k f δU δV
⎡⎣KG ⎤⎦
[N0 ] δΠ
[KT ] [Kmm ]
⎡⎣Kmb ⎤⎦
⎡⎣Kbb ⎤⎦
[H] و{vˆ}،{uˆ}
{Uˆ} ξ,η
x , y λ
{F}Tr
F, S, C a, b, h طول، عرض و ارتفاع ورق مرکب لايه لايه a / b نسبت طول به عرض ورق N تعداد لايهها Zk ضخامتk امين لايه ورق u, v, w مولفهها ي مي دان جابهجايي ورق
000u , v , w مولفهها ي ميدان جابهجايي ميان صفحه ورق ε{} بردار کرنش کل {(10)ε} بردار کرنش غشايي
{(20)ε} بردار کرنش فونکارمن و بردار کرنش خمشي
{(1)ε} بردار کرنش خمشي
Q , Qijk

ijk مولفهها ي سختي و سخت ي دو ران يافته لايه k ام
E مدول يانگ G مدول برشي v نسبت پواسون
σi ,εi مولفههاي بردار تنش و کرنش ورق
i =1,2,6
{N} بردار نيروهاي برايند تنشهاي درون سطح
{M} بردار گشت اورهاي برايند تنشهاي برون سطح
ماتريس سختي محوري
ماتريس سختي خمشي
[D] ماتريس سختي نيروي محوري و گشتاور خمشي
{N}Tr بردار برايند نيروهاي درون سطح گرمايي
{M}Tr بردار برايند گشتاورهاي درون سطح گرمايي
( ,m ϕm (ξ η امين جمله ميدان جابه جايي برون صفحه
( ,ϕb (ξ η تابع چند جملهاي براي ارضاي شرايط مرزي بـرونصفحه
θ زاويه چرخش رشتهها نسبت به محورx

١- مقدمه
ورقها به عنوان پرکاربردترين اجزا و قطعات س يـستم هـاي مکانيکي، مهمترين و گستردهترين کاربرد را در مهندسي سازه ومکانيک در زمينه ساخت سازههايي نظ ير هواپ يماها، فضاپ يماها وسازههاي در يايي دارنـد. کمـانش کـه ناشـي از بارگـذاري هـاي فشاري درون صفحه، عيبهاي سازه اي، بارگـذاري هـاي بـرونمرکز و انواع ديگر بارگذاري هـاي بـرون صـفحه اسـت، باعـثتغيير شکل هاي بزرگ و موجب ناپايداري و در نها يـت آسـيب به سازه ها ميشود. کمانش يکطرفه در واقع يک مسئله تماسي است که تحليل رفتـار ورقهـا روي فونداسـيونهـا، اتـصالاتاجزاي مکانيکي و ورقهاي تقويت کننـده تيرهـا و سـتون هـاي بتني و غيره از جمله کاربردهاي عمل ي مسئله کمانش يکطرفـهاجسام و سازههاست. وجود قيد يکطرفه، به طور مستقيم، دل يل موجهي برا ي غ يرخطي شدن رفتار بـستر الاسـتيک اسـت. مـدکمانشي ورق با اعمال تدريجي يک تابع سختي ناشـي از بـستربه سيستم، با استفاده از روند تکرار بهدسـت مـيآ يـد. گـسترشروشهاي عدد ي و نيمهتحليلي براي حل مسئله تماسي اجـسامالاستيک بـر مبنـاي نظريـه هرتـز در سـال ۱۸۹۶ و دينيـ ک درسال۱۹۵۲ آغاز شد. از آن پس مطالعات زيادي بـر روي مـسئلهتماسي انجام شده است . در اين گونه مسايل، فرض بر اين بـودکه يکي از دو جسم به عنوان بستر ديگري عمل مـيکنـد، و دوجسم به هم چسبيدهاند. پس بين دو جـسم ن يـروي چـسبندگي وجود دارد. بنابراين با توجه به معلوم بودن ناحيه تماس بين دوجـسم، حـل مـسئله از طريـق معادلـ ههـاي ديفرانـسيل خطـي امکانپذير شد . در بس ياري از موارد، به علت چسبندگي ناکـافي، صفحه ن يمهصلب نميتواند قيدي کشش ي اعمال كند. ا يـن نـوعشرايط مرز ي به عنوان شرايط تماس يکطرفه شناخته ميشوند.
طبيعت دوگانه بستر، بيانگر رفتار غيرخطي س يـ ستم مـيباشـد ومجهول بودن ناح يـه تمـاس بـين دو جـسم بـاز هـم نظريـه را پيچيدهتر ميسازد. با توجـه بـه ا يـن شـرايط، تحقيـ ق بـر روي سيستمهاي يکطرفه ن ياز بـه روش هـاي عـددي دارد . در سـال۱۹۹۴ شهوان و واس [۱] بر اساس نظريـه کلاسـيک ورق و بـاانتخاب يک تابع انرژ ي کرنش ي مناسب براي بستر الاستيک و باروش گالرک ين توانستند بار بحرانـي کمانـشي بـراي يـ ک ورقمستطيلي الاست يک را بهدسـت آورنـد. در سـال ۱۹۹۷ اسـميت، برادفورد و اوهلرز [۲] با استفاده از روش ريلي-ريتز به بررسـي پايداري ورق هاي مستط يلي مق يـ د شـده زيـر بارگـذاري برشـي پرداختند. ايشان قيد بستر يکطرفه را با يک بستر بدون قابليـ ت اعمال نيروي کشش ي مدل كردند. در سال ۱۹۹۸ شهوان و خالـد[۳] با روش گالرکين و با توجه به نظريه کرشـهاف بـه بررسـي کمانش يکطرفه ورق هاي مق يد پرداختنـد. ايـ شان بـراي بـستريکطرفه از يک بستر الاستيک غ يرخطي استفاده كردند که بسترالاستيک بدون قابليت اعمال نيروي کشش بـود. در سـال ۱۹۹۹ اسميت، برادفورد و اوهلرز [۴] طي تحق يقاتي نظري و بـا روشنيمهتحليلي-نيمهعددي ر يلي-ريتز به بررسي پا يداري ورق هـاي مستطيلي مق يد شده يکطرفه، پرداختند . سـپس در همـان سـالطي تحق يقاتي آزما يشگاهي دستاوردها بـهدسـت آمـده را تاييـ د كردند [۵]. ورقها ي پيچ شده به تيرهاي بتنـ ي نـوع ويـژهاي از مسايل است که نظر محققـان را بـه خـود جلـب کـرده اسـت.
بررسي پا يداري اين ورق ها، توسط شهيدي، هدا يتي و برادفـورد[۶] در سال ۲۰۰۷ انجام گرفت. ايشان به کمک ضرايب لاگرانژبراي اعمال قيـ دها و اسـتفاده از روش ري لـي-ريتـز بـه تحليـل پايداري موضع ي يکطرفه ورق تقويتي پرداختند که بـا پـيچ بـهيک بستر بتني متصل شده بود. ايـ شان قيـ د بـستر يـکطرفـه راهمانند مرجع [۴] به صورت يک بستر الاسـتيک بـدون قابليـ ت اعمال نيروي کشش مدل كردند. شن و همکـاران [۷] در سـال۲۰۰۴ با استفاده از نظريه رايزنر-ميندلين بـه بررسـي غ ي رخطـي رفتار خمش ي ورق مستطيلي با تکيه گاه چهارطرف گيردار که برروي بستر الاستيک بدون کشش قرار داده شده است، پرداختند.
با توجه بـه برخـي ملاحظـات اقتـصادي در مهندسـي از قبيـ ل مصرف سوخت کمتر و دستيابي به سرعت هـاي بـالاتر، علاقـهروزافزوني به کاهش ضخامت قطعات و سازه هـاي سـبک وزندر صنا يع هوافضا، دريانوردي، خودرو، و روشهاي سـاخت وتوليد، منجر به جايگزيني تدر يجي بس ياري از مـواد همـسانگردسنتي با مواد مرکبي شده است که ارايـه دهنـده هـر دو برتـريسختي و يژه بالا و وزن ويژه کم است . از ميان عناصـر مختلـفسازههاي کار امد و پيشرفته ساخته شده از مـواد مرکـب، رفتـارکمانش گرمايي ورقهاي مرکب لايهلايه مورد توجه بـسياري ازمحققان قرار گرفته است. به طور کلي حل تحليلي و دقيق ايـ ن نوع از ورقها، به دليل پيچيدگي رابطههـاي، محـدود بـه چنـدنمونه خاص از انواع شرايط مـرزي، نـوع بارگـذاري و ترتيـ ب قرارگيري لا يهها شده است. يکي از نخستين مطالعات در زمينـهمباحث کمانش گرمايي توسـط گـوزارت و همکـاران در سـال۱۹۵۲ [۷]، انجام شد. آنها با استفاده از روش ريلي-ريتز، دمـاي بحراني کمانش گرمايي ورق مستطيلي همگـن و همـسانگرد رازير گرماي گسترده يکنواخت، بر روي تک يـهگـاه چهـار طـرفمفصل بهدست آورند . تاچرت در سـال ۱۹۸۷ [۸]، بـه بررسـي کمانش گرمايي ورقهاي لايهلايه نسبتأ ضخيم از نوع پادمتقـارنعمودچين، زير گرماي يکنواخت پرداخت . وي تأث ير تغ يير شکلبرشي عمود ي را بر روي رفتار ترموالاستيک، در زمينه کمـانشگرمايي ورق، با استفاده از نظريه رايزنر-ميندلين (نظريه کـرنشبرشي مرتبه اول) مورد مطالعه قرار داد. تانگراتنام و همکاران درسال ۱۹۸۹ [۹]، تحليل کمانش ورق مرکـب لا يـهلايـ ه را بـراي بهدست آوردن دماي بحران ي، زيـر ني روهـاي گرمـايي، بررسـي کردند. فرمولبندي آنها بر اساس نظريه خطي (نظريه کلاسيک) و روش اجزاي محدود بـا اسـتفاده از المـان پوسـته ۳۲ درجـهآزادي سم يلوف انجـام پـذيرفت. سـان و همکـارش در سـال۱۹۹۰ [۱۰] با بررس ي کمانش گرمايي ورقهاي مرکب لايهلايـ ه متقارن عمودچ ين، تأث ير مهم تغييرشکل هـاي برشـي را بـر روي ورقهاي متقارن لايهلايه عمودچ ين، زيـر شـرايط مـرزي سـادهنشان دادند . چن و همکاران به ترتيـ ب در سـال هـاي ۱۹۸۷ تـا۱۹۹۱، رشته مطالعاتي در زمينه کمانش گرمايي ورقهاي لا يـه-لايه مرکب انجام دادند. آنها با بـه کـارگيري روش گـالرکين درسال ۱۹۸۷ [۱]، به مطالعه کمانش گرمايي ورق مرکب لايهلايـ ه زير گرماي يکنواخت پرداختند؛ در سال ۱۹۸۹ [۱۲]، با اسـتفادهاز روش اجزاي محدود به بررسـي کمـانش گرمـايي ورق هـايمرکب لا يهلايه زيـر گرمـاي نايکنواخـت پرداختنـد و در سـال۱۹۹۱ [۱۳]، با استفاده از المـان ۴۰ درجـه آزادي چهارضـلعي، همراه با نظريه ميندلين (کرنش برش ي مرتبه يكم)، رفتار کمانشگرمـايي را بـرا ي ورقاهـ ي ضـخيم زيـر گرمـاي يکنواخـت و نا يکنواخت گسترش دادنـد. هوانـگ و تـاچرت در سـال ۱۹۹۲ [۱۴]، به بررسي حل دقيق از کمـانش گرمـايي ورق عمـودچ ين متقارن و نسبتأ ضخيم، زير شرايط مرزي گيردار و افزايش دما ي يکنواخت، پردا ختند. آنها با استفاده از نظريـه رايزنـر -مي نـدلين، تﹰاثير تغ ييرشکل برش ي عرض ي را در افزايش ضخامت ورق نشاندادند. آنها دستاوردهاي مطالعه خود را با روش اجزاي محـدودمقايسه کردند . کبير و همکاران در سال ۲۰۰۳ [۱۵]، با اسـتفادهازروش اجزا ي محدود و المان ۳ گره ي، به حل مسايل کمـانشگرمايي ورق مربعي و کج مرکـب لا يـهلايـ ه پرداختنـد. آنهـا بـااستفاده از نظريه کرنش برش ي مرتبه يكم، ورقهاي نسبتﹰا ضخيم و نيز نازک را مورد بررسي قـرار دادنـد. آنهـا بـا اعمـال جملـهتصحيح برش ي در مولفههاي کرنش برشي عرض ي توانـستند اثـرقفلشدگي برش ي را از بين ببرنـد . شـيايو و همکـاران در سـال۲۰۱۰ [۱۶]، به بررسي رفتار کمانش گرمايي ورق هـاي مرکـبلايهلايه پرداختند . آنها با استفاده از نظريه کلاسيک، شـکل مـودکمانش گرمايي ورقهاي مرکب لا يهلايه در دو حالت اريبچين و عمودچ ين را زير انواع مختلف نـسبت مـدول يانـگ، نـسبتطول به عرض، زاويـ ه قرارگ يـري رشـتههـا، ترتيـ ب قرارگ يـري لايه ها و شرايط مرز ي مختلف، مورد مطالعه قرار دادند. آنهـا دراين تحق يق از روش اجزاي محـدود و المـان مثلثـي ۱۸ درجـهآزادي با توجه به کار شيايو و کيو در سـال ۲۰۰۴ [۷]، اسـتفادهکردن د. ش ن در س اله اي ۱۹۹۷ [۱۹] و ۲۰۰۰ [۲۰]، رفت ار گرمايي بعد از کمانش ورق مستطيلي همسانگرد را همراه با قيد بستر الاست يک غ يرخطي مورد بررسي قرار داد. بستر ارايـ ه شـدهتوسط شن ، که در مقالات ديگري نيز مورد استفاده قـرار گرفتـهاست، در طبقه بندي بستر يک طرفه در نظـر گرفتـه نمـيشـود . زيرا اين بستر هم در کشش و هم در فشار متناسب با دو سختي تعريف شده، بر ورق نيرو اعمال م ي کند.
در اين مقاله از روش ريلي-ريتز برا ي بررس ي رفتار کمانشورق مرکب لايهلايه بـر روي بـستر الاسـتيک يـکطرفـه، زيـرافزايش دما ي يکنواخت استفاده شده است. کارهايي که تـاکنوندر زم ينه تحليل کمانش يکطرفه صـورت گرفتـه، مخـتص بـهورق تکلايه همـسانگرد زيـر ني روهـاي درون سـطح مکـانيکي است، بنابرا ين براي تحليـل کمـانش گرمـايي يـکطرفـه ورقمرکب لا يهلايه نخست سعي شده با ارايـه مثـال هـاي مختلـف،دستاوردهاي بهدست آمده در زمينه کمانش گرمايي ورق مرکبلايهلايه بدون وجود بستر، زير تـاثير زاو يـ ه چ يـدمان رشـتههـا،نسبت طول به عرض ورق، شرايط مرزي متفاوت، تعداد و نـوعچينش لا يه ها، با کارهـايي کـه تـاکنون انجـام شـده، مطالعـاتپارامتري شود و سپس تاثير بستر الاسـتيک يـکطرفـه بـر روي رفتار کمانش ي ورق مرکب لايهلا يـه بـا شـرايط يادشـده در بـالامورد بررسي قرار گيرد.
در بخش (۲) فرمولبندي کلي از ورق مرکب لايهلايه ارا يـه شده است . در بخش (۳) م يـدان جابـهجـايي گسـسته شـده درروش ر يلي-ريتز استخراج شده است. در بخش (۴) به بررسـي پايداري ورق مرکب لايهلايه بر روي بستر الاسـتيک يـکطرفـهپرداخته شده است. در بخش (۵) مثال هاي حـل شـده مبـادرتميورزيم و در انتها دستاوردهاي حاصل از اين تحقيق را بيـ ان مي كنيم.

۲- فرمولبندي ورق مرکب لايهلايه عمودسانگرد
1222348896239

با توجه به شکل (۱) و رفتار ورقهاي لا يهلايه نـازک طبـقنظريه کلاسيک، مولفه هاي م يدان جابـهجـايي بـه صـورت زيـ ر فرض ميشوند [۲۱]. (۱) 0u(x, y,z) = u (x, y)0 −z ∂w
∂x
جابهجايي در م يان صفحهاند. بنابراين مؤلفه هاي کـرنش( بـا درنظر گرفتن کرنش فـونکـارمن ) بـه صـورت معادلـه ز يـ ر بيـ ان مي شوند [۱۸].
{ ε } {=ε(1) } {+ε(02) }+ z{ ε(1) } (۲)
که در آن (10)ε بردار کـرنش غـشايي، (20)ε بـردار کـرنشفونکارمن و (1)ε بردار کرنش خمشي به شکل زيرند:
⎧⎪ ∂u0⎫⎪ (۳)
⎧ε(01)xx ⎫ ⎪⎪
534956-230404

0
(01)
xy
0
0
x
v
x
u
v



ε

0

(01)

xy

0

0

x

v

x

u



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید