تحليل عددي اثر توپي بر عملکرد پروانه شناور و استفاده از PBCF براي يکسانسازي سرعتهاي القايي در جريان پايين دست

١
حسن قاسمي۱، امين مردان۲ و احسان ياري۱
۱.دانشکده مهندسي دريا، دانشگاه صنعتي اميرکبير (پلي تکنيک تهران)
۲.دانشکده علوم و مهندسي دريايي، دانشگاه صنعتي مالک اشتر

(دريافت مقاله: ١٠/١١/١٣٩٠- دريافت نسخه نهايي: ٢٨/٠٣/١٣٩١)

چكيده – : در اين مطالعه از روش عددي اجزاي مرزي براي تحليل هيدروديناميکي تاثير توپ ي بر عملکرد پروانـه و اسـتفاده از فـين بـراي يکـسان سـازي سرعت هاي القايي در پايين دست جريان استفاده شده است. مدلسازي هندسه در معادلات به کمک توزيع چشمه و دوقطبي بر روي توپي و پرهها انجام گرفتهاست. در بررسي تاثير توپي و پرهها بر روي ه م از يک فرايند تکراري استفاده شده است؛ بدين صورت که در هر مرحله، توپي و پرهها به صورت مجزا و با در نظر-گرفتن اثر جس م مجاور در شرايط جريان ورودي مورد تحليل قرار گرفتهاند. در ادامه به مدلسـازي هندسـي فـينهـاي انتهـاي تـوپي و بررسـي اثـرات آن درسرعت هاي القايي پروانه پرداخته شده است. اين فينها به عنوان يک کاهنده اتلاف انرژي، باعث کاهش و يکنواختتر شدن اثرات القايي پروانه در جريان پايين-دست پروانه ميشوند.

واژگان كليدي: توپي پروانه، روش اجزاي مرزي، جريان القايي، فين انتهاي توپي

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: gasemi@aut.ac.ir
١٣٩٢
Numerical Analysis of Hub Effect on Marine Vehicle Propeller
Performance and Using PBCF to Equalize Its Induced Velocity Downstream

H. Ghassemi1, A. Mardan2 and E. Yari1

1.Department of Ocean Enginerring, Amirkabir University of Technology
2.Department of Marine Engineering, Maleke-Ashtar University of Technology

Abstract: In this article, the boundary element method (BEM) is used to analyse the propeller hub and the blades in its vicinity. In solver, the modeling of hub and blades is performed with source and dipole distribution on their surfaces. Iterative procedure is utilized to consider the near body effect. In each step, each body was independently analyzed with the influence of near body considered in inflow velocity. The induced velocity of propeller was studied with and without PBCF (Propeller Boss Cap Fin) downstream. PBCF, as an energy-saving device, causes the induced velocity of propeller to be reduced and uniformed.

Keywords: Propeller Hub, Boundary element method (BEM), Induced Velocities, PBCF.

راندمان پروانه
ضرايب اصطکاک روي سطح پروانه در نقطه pi ضرايب تاثير چشمه
ضرايب تاثير دوقطبي روي پره ضرايب تاثير دوقطبي روي ويک ضرايب تاثير سرعت چشمه ضرايب تاثير سرعت چشمه
ضرايب تاثير سرعت دوقطبي روي پره ضرايب تاثير سرعت دوقطبي روي ويک ضريب اصطکاک ويسکوز در شعاع r ضريب پيشروي پروانه ضريب تراست پروانه ضريب فشار بي بعد روي سطح پروانه در نقطه pi ضريب گشتاور پروانه عدد رينولدز در شعاع r قطر پروانه گام در هر شعاع
گردش ( سيرکولاسيون ) گشتاور کل پروانه مختصات نقطه چشمه مختصات نقطه کنترلي η
C (p )fi
Sij
Dij
Wij
∇pSij
∇pSij
∇pDij
∇pWij
Cfr
J
KT
C (p )p i
KQ
Rn
D
P
Γ
Q
Q
P بردار عمود بر سطح
برايند سرعت پيشروي و سرعت دوراني پره پتانسيل سرعت تابع گرين تبديل ژاکوبين تعداد پرهها توابع شکل
تعداد نقاط ميداني تراست کل پروانه
سرعت در بالادست جريان سرعت دوراني پروانه
سرعت مماسي کل روي سطح پروانه سرعت يک نقطه ميداني سطح پره سطح دنباله
سطح کنترل خارجي شعاع بيبعد شعاع پروانه شعاع توپي
طول کورد در هر شعاع
فاصله ميان نقطه چشمه و نقطه کنترلي n V1 φ
G
J Z
Qi
No
T U∞ n
Vτ vi
SB
SW S∞ x R
rn
C
P
فهرست علائم 
عددي
١- مقدمه
پروانه معمو ﹰلا در پاشنه شناور قرار ميگيرد. به علـت ايجـادلايه م رزي و شکل پيچيده پاشنه شناور، ميدان جريان ورودي بهپروانه يک ميدان جريان دنباله۱ نايکنواخت است . لازمه تحليـلعددي پروانه، داشتن ميدان جر يان دنباله پاشنه شناور است. هـرشناور با توجه به شکل و فرم خاص بدنـه داراي م يـدان دنبالـهمختص خود است . امـروزه بـا اسـتفاده از معـادلات حـاکم بـرجريان س يال در علم هيدروديناميک و روش هاي عدد ي پ يشرفته در د يناميک س يالات محاسبات ي، ميدان دنباله پاشنه شـناور قابـلاستخراج است. با توجه به اينکه پروانه جزو سـطوح بـرا۲ و يـاجلوبر (پيشبرنده) است نيروي فشار ي در مقايـ سه بـا ن يـروي برشي غالب است. لذا، با استفاده از مدل سازي مناسـب و روشاجزاي مرزي برا ي تحل يل پروانه وتوپي م ي توان به نتـايج قابـلقبولي در مقايسه با داده ها ي تجربي دست يافت.
پروانه فين دار ۳ متشکل از تعدادي پره، توپي و فـين اسـت. استفاده از فين در انتهاي توپي پروانه ۴ باعث از بين بردن گردابه۵ توپي مي شود. گردابه توپ ي حـاوي حبـاب بخـار (کاويتاسـيون ) بوده و سـبب کـاهش رانـدمان پروانـه و خـوردگي در سـکان۶ مي شود.
تاکنون روشهاي متعددي بـراي تحليـل وطراحـي پروانـهارائــه شــده اســت؛ کــه مــيتـوان کــد طراحي پــره پروانــهMIT’sPBD10 و کدتحليل نيروهاي وارد بر پروانـه در حالـت پاياPSF2 را نام برد[۱]. يکـي از موضـوعات مهـم در طراحـيپروانــه اثــر انــدازه تــوپي بــر عملکــرد پروانــه و ضــرايبهيدروديناميکي است. براي پروانه هايي که تـوپي بزرگـي دارنـد(مانند پروانه با گام قابل کنترل۷) توپي مي تواند اثر قابل توجهيبر عملکرد پروانه داشته باشد. در سال ۱۹۷۸، وايند ۸ معيـاري رابراي حداقل اندازه توپي از نظر سازهاي ارائه کـرد و پـيشبينـي
١٣٩٢
مولفههاي ويسکوز تراست پروانه مولفههاي ويسکوز گشتاور پروانه Tvis
Qvis مساحت هر جزء مولفه پتانسيل گشتاور پروانه ∆Si
Qpot
مولفه پتانسيل تراست پروانه Tpot

کرد که راندمان، تقريبا متناسب با کاهش سـطح ديـسک پروانـهکاهش مي يابـد [۲]. از نظـر هيـدروديناميکي تـوپي بزرگتـر اثـربيشتري روي پرهها دارد و بنابراين ضروري است که تـوپي، درفرايند طراحي مدنظر قرار گيرد.
هس۹ براي مدل سازي پره، توزيع چشمه و دوقطبي و برايمدلسازي توپ ي توزيع چشمه را به کار برد . در مطالعه مذکور، از”انتقال نيروي ليفت” از محـل تقـاطع پـره بـا تـوپي بـه محـورچــرخش اســتفاده شــده اســت کــه بــه معنــي شــيب صــفرسيرکولاسيون در توپي اسـت؛ گردابـه تـوپي در امتـداد محـورچرخش شکل ميگيرد و قدرت گردابه برابر جمـع قـدرت دو-قطبي هاي منتقل شده از تمام پرههاست[۳و۴].
در سال ۱۹۹۱، گلگ ۱۰ با بررسي نويز ناشي از بارگذاري درحالت پايدار نشان داد که اثر توپي درسطح نويز انتشاري پروانهدر دوردست بسيار قابل توجـه اسـت[۵]. در تحقيقـي بـر رويپروانه با گام قابل کنترل در سال ۱۹۹۲ نشان داده شد که عـلاوهبر توزيع فشار در مقاطع نزديک به ريشه پره، عملکرد پروانه نيزدر حالت آب آزاد تحت تاثير توپي قرار ميگيرد[۶]. طبق نتـايجليو۱۱ در سال ۱۹۹۵ در توپيهاي معمولي که قطر کمي دارنـد وبيشتر در پروانههاي گـام ثابـت و شـناورهاي سـطحي اسـتفادهمي شوند، اثر توپي روي نيروهاي هيدروديناميکي پروانـه ماننـدتراست و گشتاور چندان قابل توجه نيست[۷].در ادامه در سـال۲۰۰۹، کاي ۱۲ الگوريتم کوپل را برايتحليل پروانههاي نـازلدار با درنظر گرفتن اثر توپي مورد استفاده قرار داد[۸].
در سال ۱۹۸۰، تجهيـزات هيـدروديناميکي کاهنـده اتـلافانرژي به صورت گسترده وارد صنعت دريايي شد. اين ابزارها ازلحاظ موقعيت جانمايي و نصب به سه دسته تقسيم ميشوند[۹]:
تجهيزاتي که روي بدنه شناور نصب ميشوند.
ابزارهايي که روي پروانه قرار ميگيرند.
وسايلي که در پايين دستجريان قرار ميگيرند.
فينهاي انتهاي توپي جز ء دسته دوم بوده و روي قسمت انتهايتوپي نصب ميشوند. ايده قرار دادن اين فينها، اولينبار توسـطاويچي۱۳ در سال ۱۹۸۸ و با هـدف افـزايش رانـدمان و کـاهشاتلاف انرژي ناشي از تشکيل گردابه توپي ارائه شد. اين گردابـهحاوي حباب بخار است که در اثر ترکيدن اين حبـاب هـا نـويز،خوردگي و ارتعاشات در سيستم ايجاد ميشود. اين فـينهـا بـاضعيفکردن قدرت گردابههاي جاري شده روي تـوپي، باعـثبازيابي انرژي جنبشي ناشي از چرخش جريان ميشوند.
⎧ :انتهــاي تــوپي صــورت گرفتــه اســت بــه شــرح زيرنــد⎪⎪xP =−⎡⎣iG + θr S tan(θnt )⎤⎦+(0.5−xc )sin(θnt )+ yU,L cos(θnt ) [۱۳-۱۰]

کاهش ۳ تا ۶ دسي بل در سطح نويز انتشاري پروانه ⎪⎪
⎪⎪ P⎡ S180⎡⎣(0.5−xc )cos(θnt )− yU,L cos(θnt )⎦⎤⎤⎥(١) افزايش ۲ الي ۶ درصد در راندمان پروانه
⎨y = rsin ⎢θ −

⎢πr⎥
اکثر تحقيقات تجربي و عددي مربوط به فـين هـاي انتهـاي تـوپي بـراي کـاهش مـصرفت سـوخت و افـزايش رانـدمان درشناورها انجام گرفته است. نتايج کارهاي تحقيقـاتي مهمـي کـهتوسط اويچي بين سال هاي ۱۹۸۹ تا ۱۹۹۲ بـر روي فـينهـايمورد بررسي قرار گرفته است . همچنين اثر تغييـ ر قطـر و زاويـهمخروطي توپ ي که بين طراح هيدروديناميک بدنه و طراح رانشو پروانه به عنوان يک نقطـه مـشترک تعريـف مـيشـود، مـوردتحليل قرار ميگيرد. نوآوري که در اين مقاله نسبت به کارهـايديگر مشهود است، استفاده از اثرات القايي به جـاي اسـتفاده ازماتريس کوپل و در نتيجه کوچـک كـر دن مـاتريس هـاي حـلاست که سبب کـاهش محاسـبات و افـزايش دقـت محاسـباتيمي شود.

٢- هندسه و مدل سازي پروانه
٢-١- مدلسازي هندسي پرهها
هر نقطه مانند p روي سطح پره و مختصات محلي (yp ، xp و zp) با استفاده از معادله (١) به صورت زير تعريف ميشود[۹]:
امکان استفاده از گام بالاتر در ريشه ي پره
۴% صرفهجويي در مصرف سوخت شناور طبق گزارش جانگل ويتز۱۴ در سال ۱۹۹۶، استفاده از فـينهـايانتهاي توپ ي باعث کاهش گردابه توپي شده و در نتيجـه ۲ تـا ۵ درصد راندمان را افزايش داده است .[۱۴].
در مطالعهي حاضر، در بررسي تاثير توپي و پرههـا بـر رويهم از يک فرايند تکراري ۱۵ استفاده شده است؛ بدين صورت کهدر هر مرحله توپي و پرهها به صورت مجزا و با در نظـرگـرفتناثر جسم مجاور در شرايط جريـان ورودي مـورد تحليـل قـرارمي گيرد. براي مدل سازي تو پي و پرههـا در معـادلات از توزيـعچشمه و دوقطبي روي سطوح آنها استفاده شده است. در ادامـه تحليل ارائه شده، به بررسي وجود اين فينها در اثـرات القـاييپروانه در جريان پاييندست پرداخته شده است. سپس بـا تغييـردو پارامتر هندسي يعني زاويه نصب فـين روي انتهـاي تـوپي و اختلاف فاز بين پروانه و فين، عملکرد فـينهـاي انتهـاي تـوپي
⎪⎣⎦


⎪⎪zP = r cos ⎢⎡θ −S180⎣⎡(0.5−xc )cos(θnt )− yU,L cos(θnt )⎦⎤⎥⎤

⎦⎢⎣πr⎥⎩⎪براي تبديل مختـصات محلـي بـه مختـصات کلـي از مـاتريس تبديل، معادله (۲)، به صورت زير استفاده ميکنيم.
⎡XP ⎤ ⎡100 ⎤⎡xP ⎤
⎢⎢YP ⎥⎥ =⎢⎢0cos ϕ sin ϕ⎥⎥⎢⎢yP ⎥⎥ (٢)
⎢⎣ZP ⎥⎦ ⎢⎣0sin ϕ cos ϕ⎥⎦⎢⎣zP ⎥⎦

۲-۲- جريان گردابه دنبالهاي
جريان گردابه دنبالهاي که براي اصلاح سرعت در لبه فرار۱۶ پره ب هکار ميرود در حالت فواصل مساوي مـدلسـازي شـده وميزان پيشروي دنباله در پايين دست جريان، معمـولا معـادل بـاپيشروي پروانه بـه انـدازه ۲ يـا ۳ دور چـرخش درنظـر گرفتـهمي شود. در اين مطالعه، ناحيه گـذار۱۷ و رويهـم جمـع شـدن

شکل۱- مدلسازي ويک در انتهاي يک پره

هر نقطه در دستگاه استوانهاي تعريف شده و از طرفي وابسته بهمختصات نقطه ما قبل آن خواهد بود. معادله ارائه شده، هندسـهدنباله در هر نوار شعاعي (r) را تعريف ميکند.

po int1 = ⎣po intU + po intL ⎥⎦Trailing Edeg ( ٣)
point (1)i = pointi 1− (1) +×coeff.
2rn
point (2)i = r٣
point (3)i = pointi 1− (3)+ coeff.,i = 2,3,4,….,n

در فرمول بندي جريان دنباله، ضرايبn وcoeff ميزان پيشرويجريان سيال در پشت پروانـه را تعيـين مـيکننـد . آنچـه کـه در شکل (۱) نمايش داده شده، شکلگيري دنباله اي است که به آندنباله کلاسيک خطي گفتـه مـيشـود . از آنجـا کـه از اخـتلافپتانسيل بين سطوح دنباله صرفنظر شـده اسـت، ضـخامت آنصفر درنظر گرفته ميشود.

۲-۳- مدل ساز ي توپي
هندسه توپ ي را ميتوان با استفاده از معادله (٤) بـه صـ ورت زير ارائه کرد[۱۵].
r (x)h= a(x − b)3 + rH (٤)
a =rH3 ,b = x , x21 ≤ ≤xx2
(x2 − x )1 a = 0, rh = rH, x2 ≤ ≤x x3
a =−rH3 ,b = x , x33 ≤ ≤xx4
(x4 − x )3
دنباله مدل سازي نشده است. در فرمولبنـدي دنبالـه، مختـصات

2
p

2

p

شکل ۲- مدلسازي هندسه توپي
هندسه تـوپي را بـا پـنج پـارامترx3 ،x2 ،x1 ،rH و 4x مـي تـوانکنترل کرد . rH حداکثر شعاع توپي است . بازه بين 2x=x و 3x=x، شعاع توپ ي ثابت و برابرrH است . در بازه بـين 3x=x و 4x=x، ازيک تابع درجه سوم استفاده شده است که بهترين انطبـاق را بـا
توپي واقعي دارد. بازه بين 1x=x و 2x=x يک هندسـه مـصنوعيبا هدف تعريف يک پروفيل بسته براي توپي اسـت. شـکل (۲) مدل سازي هندسه توپي را نشان مي دهد.
در تشکيل توپ ي مخروطي، يک مخروط ناقص از لبه جلويي پره شروع به برش دادن آن به سمت بالادست جريان ميکنـد ولذا شعاع متوسط تـوپي در اثـر اعمـال شـيب، افـزايش يافتـه وبخشي از سـطوح بـرآ( پـره) از بـين مـيرود. در شـکل (٣)، تغييرات اعمال شده روي توپي و پره، قبل و پس از اعمال زاويه١٠ درجه نمايش داده شده است. اگـر تعـداد پـرههـاz درنظـرگرفته شود، با توجه به يکسان بودن شـرايط جريـان در تحليـلپايا،1/z توپ ي مورد تحليل قرار ميگيرد. مش روي توپي ماننـدمش دنباله در مختصات استوانهاي شکل ميگيرد و درنهايت بـهمختصات دکارتي تبديل ميشود.

۲-۴- مدل سازي فينهاي انتهاي توپي
تحقيقات نشان ميدهد که عملکرد پروانه در ناحيـه اطـرافقسمت انتهايي توپي کاهش مييابد. گردابـه هـاي تـشکيل شـدهروي توپ ي پروانـه رانـدمان را کـاهش مـيدهنـد . قـدرت ايـنگردابه ها بستگي به توزيع بارشعاعي روي پروانه و هندسه توپي دارد. طبق تحقيقات به عمل آمده فينهاي نصب شده روي توپي

شکل ۳- مقايسه پره و توپي، قبل و بعد از اعمال زاويه مخروطي

شکل ۴- مدل فينهاي انتهاي توپ ي بههمراه دنبال

باعث حذف کاويتاسيون گرداب ي توپي مـي شـوند کـه در نتيجـهنويز هيدروآکوستيکي را از بين ميبرنـد [۱۵] . عـلاوه بـر ايـنراندمان پروانه را به خصوص در پروانههاي گـام متغيـر افـزايشميدهد. در زير به بررس ي چنـد نکتـه کـه در طراحـي هندسـي فين ها مهم اند پرداخته شده است[۱۰] :
الف : تعداد فينها با تعداد پرههاي پروانه بايد برابر باشند.
ب: اختلاف زاويه نصب بين مقطع پره در ريشه پروانه و فينها از ۲۰- تا ۳۰+ درجه قابل تغيير است.
: قطر فينها نبايد از ۳۳% قطر پروانه بيشتر شود.
: لبه جلويي فينها مابين ريشه دو پره مجاور قرار ميگيرد.
در اين مقاله، با در نظر گرفتن موارد فوق الذکر، دقـت لازمدر مدل سازي فينها صورت گرفته است. شکل (۴) مدل سازي فينهاي انتهاي توپي به همراه دنبالـه را نـشان مـيدهـد . تعـدادمشهاي کل پروانه عبارت است از تعداد مشهاي روي پره ها،توپي و فين هاست. مطابق شکل (۴) براي يک پروانه ۴ پره اي با۴ تا فين، تعداد کل مش ها در حدود ۸۵۰۰ جزء سطح ي است که ۲۴۰۰ جزء براي پرههاي پروانه، ۲۴۰۰ جزء براي فـينهـا و۳۵۰۰ جزء براي توپ ي است.

٢-٥- مشخصات هندسي پروانه و فين
پارامترهاي اصلي پروانه و فين در جداول (١) و (٢) نمايش داده شده است. پارامترهاي هندسي فينها بر مبناي توصيههـايمطرح شده در بخش (٢-٤) تعيين شدهاند[۱۰].

۳- معادلات حاکم و روش حل
۳-۱- جريان پتانسيل و شرايط مرزي حاکم
با فرض اينکه جريان در ميدان حل خارجي حول جسم بـهانـدازه کـافي و مـوثر غيـر ويـسکوز۱۸، تـراکم ناپـذير و غيـر چرخشي۱۹ باشد ، در حالت جريان پايا سـرعت اغتـشاشي۲۰ درکليهي ميدان حل به استثناي سطوح ناپيوسته ميدان سـرعت کـهتشکيل دنباله سطح بـالابر از جـسم را مـيدهنـد غيرچرخـشياست. به عبارت ديگر براي استفاده از معادله لاپلاس براي مـدلکردن جريان سيال حول پروانه بايد جريان در کليه نقاط ميـدانبه جز يک سري نقاط ناپيوستگي، که دنباله پروانه جايگزين آنهامي شود، غير چرخشي باشد. در حالت جريان ورودي نايکنواخت مانند حالت ويسكوز يا جريان دنباله پشت شـناور فـرض بـر ا يـن است که قسمت چرخشي سرعت اغتـشاشي بـه همـراه گردابـهي اغتشاشي۲۱ مربوط به سيال در ميـدان سـرعتVω ، کـه در متـونهيــدروديناميک شــناور بــه عنــوان دنبالــه مــوثر۲۲ شــناور شناخته شـده است، در نظر گرفته شده است. بنابراين با در نظر
جدول ۱- دادههاي هندسي پروانه
مقدار پارامتر
۴ تعداد پره
۱ متر قطر
۰۸۴/۱ متر گام در نسبت شعاعی ۷/۰
۰/۵ نست سطح گسترش يافته
۱۰ زاويه اسکيو(درجه)
۶ زاويه ريک (درجه)
راست گرد جهت چرخش
MAU مقطع پره

جدول۲- دادههاي هندسي فينها
مقدار پارامتر
۴ تعداد فين
۳۳/۰ متر قطر
متغير زاويه نصب
متغير کورد
راست گرد جهت چرخش

گرفتن اين حالت ، همه سه فرض بالا برقرار شده و مـي تـوان ازمعادله لاپلاس استفاده كرد.
با در نظر گرفتن فرض غيرچرخشي بودن سـيال مـي تـوانگفت سرعت اغتشاشي برابر با گراديان پتانسيل اغتشاشي است. بــراي جريــان ســيال تــراکم ناپــذير ، معادلــه پيوســتگي
.V(x, t) = 0∇ بهصورت معادله لاپلاس در ميآيد:
∇ ϕ2 (x,t) = 0
سرعت کل در هر نقطه از ميدان سيال برابـر بـا جمـع سـرعتاغتشاشي و سرعت غير اغتشاشي است.
V(x,t) = V (x, t)0+∇ϕ(x, t)
براي جريان سيال تراکم ناپذير، غير ويـسكوز و غيـر چرخـشيمعادلات ممنتوم نوير_استوکس ب هصورت معادله برنولي خلاصهميشود. در دستگاه مختصات متصل بـه جـسم معادلـه برنـولي بهصورت زير در ميآيد:
89916-82155

∂ϕ∂t + +ρpV22 + gz = prefρ + V02 2

در معادله (۷) p فشار ، ρ چگالي سيال وpref فشار مرجع سيال ميباشد. براي پروانـه فـشار مرجـع فـشار ناحيـه بـسيار دور ازبالادست۲۳ پروانه در راستاي شفت پروانه است و با اسـتفاده ازقـــانون هيدرواســـتاتيکpref = patm+ρgzatm بـــه دســـت مي آيد(p atm فشار اتمسفر در ارتفاعz است ). در ادامـه پـارامترمهم و بي بعد يعني ضـريب فـشار۲۴ بـه صـورت زيـر تعريـفمي شود:
Cp =

0.5p−ρpVrefref2
در معادله (۸) Vref سرعت مرجع بوده و معمو ﹰلا برابر با| V0 | سرعت جر يان ورودي است. براي پروانه سرعت مرجع معمـو ﹰلاميزان سرعت ورودي يا مقدارnD در نظـر گرفتـه مـيشـود . D معرف قطر پروانه وn اندازه دور پروانه يـا سـرعت دورانـي درهر دور بر ثانيه بوده و برابر است با : (٩)

n
معادله (۷) را مي توان به صورت زير بازنويسي كرد:
89916-39251

2 ∂ϕ+ V 2 − V0 2 + 2gz =−Cp (١٠)
Vref2 ∂tVref2Vref2

٣-٢- شرايط مرزي
براي حل معادلـه لاپلاس،مطـابق بـا معادلـه (۵)، در جريـانخارجي حول پروانه بايستي شرايط مرزي در هر يک از اجـزاي سطحي تعر يـف شـوند. بـا توجـه بـه شـرايط مـرزي ، اجـزاي سطحي۲۵ به سه دسته تقسيم بندي مي شوند:
سطح جسم(SB )
سطح دنباله (SW )
سطح در بي نهايت ( ∞S)

٣-٢-١سطح جسم
بر رو ي سطــح جسم براي ارضا شدن شرط مرزي ، صفر

شکل ۵- جسم در مقابل جريان [۱۸]

بودن مولفه سرعت عمود بر جـزء ، مـي تـوان از شـرط مـرزينيـومن۲۶ اسـتفاده كـرد. مقـدار پتانـسيل کـل، جمـع پتانـسيل اغتشاشي و پتانسيل ناشي از جريان ورودي، برابر صـفر بـوده ولذا شرط نيومن به صورت زير بيان ميشود:

∂ϕ∂n =−V .nI (١١)
n بردار نرمال هر جزء به سمت بيرون است .

٣-٢-٢ سطح دنباله
سطح دنباله يک لايه گردابه با ضخامت صـفر، چـسبيده بـهجسم و دربرگيرنده تمامي گردابههاي جاري شده توسط جـسماسـت. سـطح فوقـاني و سـطح تحتـاني دنبالـه بـ ه ترتيـب بـا علامتهاي + و– مشخص شدهاند. سـطح دنبالـه بايـد شـرايط مرزي را ارضا کند. براي ارضا ي شرط مرزي سـ ينماتيکي دنبالـهگردابهSw با يد بـ هصـورت يـک سـطح از بخـار سـيال باشـد.
اگرVn نشان دهنده سرعت سطح دنباله در جهت عمود باشـد،شرط مرزي سينماتيکي براي جريان پايا و ناپايا به صـورت ز يـر بي ان ميشود :
V .n+ = V .n− = Vm .n = Vn (١٢) .سرعت متوسط سيال است Vm =

(V+ + V− )

٣-٢-٣ سطح در بي نهايت
در سطح مرز در بي نهايت ، ∞S ، آشـفتگي ناشـي از سـطح
جسم بايستي به سمت صفر ميل کند.
X→∞ ⇒ ∇ϕ→0 (١٣)

٣-٣- شرط کوتا۲۷
جريان عبور ي از يک بدنه غير برآ۲۸ را ميتوان توسط توزيع سينگولاريتيهاي چشمه توصيف كرد. اما برا ي توص يف جر يـ ان عبوري از اجسام برآ، که توسط توزيع س يرکولاسيون رو ي سطحمدل م يشوند، يک شرط مرزي در لبه فرار جسم بايد ارضا شود که بيان م ي کند در لبه فرار مقدار محدود و يکتايي برا ي سرعتبايد وجود داشته باشد.
| ∇ϕ|TE < ∞ (۱۴)

۳-۴- روش حل مبتني بر اجزاي مرزي
در مسائل مقدار مرزي پتانسيل سـرعت بـراي هـر نقطـهp مطابق شکل (٥) را مي تـوان بـه يـک معادلـه انتگرالـي تبـديل کرد: [۱۶]
⎡∂1∂ϕ(q)1⎤
95326251955

2πϕ(p) = ∫∫ ⎢ϕ(q)−⎥dS
∂nR(p,q)∂nR(p,q)
SB ⎢⎣∂q1q⎥⎦ (١٥)
+ ∫∫ ∆ϕ(q)

dS
∂nq R(p,q)
SWاز آنجا که∂φn ∂

روي سطح جـسم معلـوم اسـت، معادلـه (۱۵)، معادلـه انتگرالـي فردهـولم از نـوع دوم بـراي متغيـرφ اسـت.
اختلاف پتانسيل در عرض سطح دنباله برابر با اخـتلاف مقـاديرپتانسيل روي سـطح بـالا و پـايين پـره در لبـه فـرار آن اسـت.
گسستهسازي معادله (۱۵)، منجر به يک دستگاه معادلات خطـيبا مجهولφ مي شود. شكل ماتريسي معادلـه (۱۵) بـه صـورتمعادله (۱۶) است:
(۱۶) [D][ϕ =] [S][ϕ +n ] [W][∆ϕ] که V .n

1
n
n
∂φ
φ=
=−



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید