تحليل مسائل ارتعاش آزاد و اجباري بهکمک روش تقابل دوگانه اجزاي مرزي براساس توابع پايهي شعاعي چند ربعي معکوس
١
صالح حمزهء جواران و ناصر خاجي* دانشکده مهندسي عمران و محيط زيست، دانشگاه تربيت مدرس

(دريافت مقاله: ٠٦/١١/١٣٩٠- دريافت نسخه نهايي: ٠٣/٠٨/١٣٩١)

چكيده – در اين مقاله، ي ك فرمولبندي جديد از روش اجزاي مرزي براي تحليل ارتعاش آزاد و اجباري محيطهاي كشسان دوبعدي ارائه مـي شـود . هـدفاصلي اين مطالعه، تخمين جمله اينرسي با استفاده از توابع پايهي شعاعي چندربعي معکوس است. براي اين منظور، روش تقابـل دوگانـه بـا حـلهـاي اساسـياستاتيکي، برمبناي اين توابع فرمولبندي ميشود. حل خصوصي معادلهي ديفرانسيل مربوط به هستههاي فرضي جابه جايي و ترکشن بهصورت صريح محاسـبهميشود. براي رفع تکينگي از حل خصوصي، يک تکنيک رياضياتي ساده بهکار گرفته ميشود. پس از رفع تکينگي، حالت حدِيِ انطباق نقطهي چشمه و گـرهي مرزي براي هستهها محاسبه ميشود. براي نشان دادن کارايي و دقت روش حاضر، چندين مثال عددي ارائه ميشود. نتايج حاصل با نتايج بهدست آمده از سايرتوابع پايهي شعاعي موجود و حلهاي تحليلي مقايسه ميشوند.

واژگان كليدي : توابع پايه ي شعاعي چندربعي معکوس، حلهاي خصوصي، روش اجزاي مرزي، روش تقابل دوگانه، مسائل الاستوديناميک دوبعدي، تحليـلارتعاش آزاد و اجباري.

Analysis of Free and Forced Vibrations Problems Using the Dual
Reciprocity Boundary Element Method Based on
Inverse Multiquadric Radial Basis Functions

S. Hamzehei Javaran and N. Khaji

Faculty of Civil and Environmental Engineering, Tarbiat Modares University, P.O.
Box 14115-397, Tehran, Iran

Abstract: This paper presents a new boundary element formulation for free and forced vibration analysis of 2D elastic domains. The main idea of the present formulation is to approximate the inertia terms using the inverse multiquadric radial basis
functions (IMQ RBFs). The dual reciprocity method (DRM) with the static-type fundamental solution is reconsidered by using
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــthe proposed RBFs. The fictitious particular solution kernels of inverse multiquadric RBFs corresponding to displacement and
* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: nkhaji@modares.ac.ir
تابستان ١٣٩٢
traction, a few terms of which are singular, are explicitly derived. Therefore, a simple mathematical trick is employed to resolve the singularity problem. In addition, the limiting values of the particular solution kernels are evaluated. Several examples are studied to demonstrate the validity and the accuracy of the proposed formulation. The results are compared to the obtained analytical and other RBFs available in the literature.

Keywords: Keywords: Inverse multiquadric radial basis functions, Particular solutions, Boundary element method, Dual reciprocity method, 2D elastodynamics, Free and forced vibration analysis.
١- مقدمه
روش اجزاي مرزي ۱ به عنوان يک روش قدرتمنـد و چنـد-منظوره در دهههاي اخير پيشرفت چشمگيري داشـته اسـت. در مواردي همچون مدلکردن تمرکز تنش يـا تحليـل محـيطهـاينامحدود که ممکن است روش اجزاي محدود ۲ از کارايي کـافيبرخوردار نباشد، ميتوان از روش اجزاي مرزي به عنـوان يـکروش جـايگزين مناسـب اسـتفاده کـرد [۱]. شـروع اسـتفاده از فرمولبنديهـاي اجـزاي مـرزي در مـسائل الاسـتوديناميک بـاکارهايي همچون فريدمن و شاو [۲]، باناخ و گلداسـميت [۳] وکروز و ريزو [۴] از دههي ۶۰ بود. در پيشينهي تحقيقات علمي، سه فرمول بندي اصلي از الاستوديناميک در روش اجزاي مـرزيگزارش شده است که عبـارتانـد از: روش مبتنـي بـر دامنـهي زمان، تبديل لاپلاس و تکنيکهاي انتگرال گيري روي حوزه. دو روش اول بـه علـت پيچيـدگيهـاي موجـود در فرمـولبنـدي، حافظ ـهي زي ـادي از رايان ه اش غال ک ـرده، و در نتيج ه زم انمحاسبات را افزايش ميدهند. روش سوم نيز بـه انتگـرالگيـريروي ح وزه احتي اج دارد [۵-۸]. ب راي حـل اي ن مـشکلات،نارديني و بربيا [۹-۱۱] روش تقابل دوگانه۳ را معرفي کردند. در اين روش، انتگرال شامل جمله هـاي اينرسـي (کـه روي حـوزهباقي مي ماند)، با استفاده از يک رابطهي تقابل ديگر بـه انتگـرالروي مرز تبديل ميشود. در اين روند، از يک دسـته توابـع کـهبعدها به اسم توابع پايهي شعاعي ۴ نام گذاري شـدند [۱۲] بـراي تقريب جمله هاي اينرسي استفاده ميشود، بهطوري که انتخـابمناسب اين توابع تأثير زيادي روي دقت نتايج خواهـد داشـت.
معمو ﹰلا توابع پايهي شعاعي به دو دستهي کلي و محلـي تقـسيمميشوند. از جمله ي توابع پايهي شعاعي کلـي مـيتـوان توابـعمخروطي۵ [۶-۱۲]، اسپلاين صفحه نـازک۶ [۱۲-۱۸] ، گوسـي۷ [۱۳و۱۹]، چند ربعي۸ [ ۲۰ و ۱۲-۲۲] ، سينوسي۹ [۲۳]، فوريه۱۰
[۲۴]، و بسل نوع اول۱۱ [۲۵،۲۶] را نـام بـرد. از دسـتهي توابـعپايــهي شــعاعي محلــي نيــز مــيتــوان بــه توابــع تکيــهگــاه فشرده۱۲[۲۷-۳۱] اشاره کرد.
از جمله توابع ديگري که رياضيدانـان بـراي توابـع پايـهي شعاعي ارائه دادند ميتوان به توابع چند ربعي معکـوس۱۳ اشـارهکرد. توابع چند ربعي معکوس که جزو توابع پايهي شعاعي کلـيبه شمار ميآيند، در سال ١٩٧١ تو سـط هـاردي معرفـي شـدند[۳۲]. در اين مقاله براي اولين بار، استفاده از اين توابع در حـلارتعاش آزاد و اجباري مسائل الاسـتوديناميک دوبعـدي توسـعهداده شده است. بدين منظور، روش تقابل دوگانه بر مبنـاي ايـنتوابع فرمول بندي شده است. به منظور تخمـين جملـه اينرسـي،حل خصوصي معادلهي ديفرانسيل مربوط به هستههـاي فرضـي جابهجايي و ترکشن بهصورت بسته محاسبه شـده اسـت. بـرايجلوگيري از وقوع تکينگـي (در حالـِتِ حـدِيِ انطبـاق نقطـهي چشمه و گرهي مرزي)، نظر به اينکه حل خصوصي بـراي يـکمعادلهي ديفرانسيل يکتا نيست، از حل همگن نيز استفاده شـدهاست. براي روش پيشنهادي سه مثال حل شـده اسـت و نتـايجحاصل با نتايج بهدست آمده از ساير توابع پايهي شعاعي موجود در پيشينه ي تحقيقات علمي و حلهاي تحليلي مقايسه شده، تـاکارايي و دقت روش حاضر نشان داده شود.

۲- فرمول بندي روش تقابل دوگانه
يک رابطه ي تقابل ۱۴ مي تواند بين دو حالت الاستوديناميک والاستواستاتيک نوشته شود. براي هر نقطـهي دلخـواهx از يـکجسم دوبعدي يک ماده همسانگرد (ايزوتروپ)، با حوزهيΩ و مرز Γ ، معادله تعادل ديناميکي در غياب نيروهاي حجمـي بـهصورت زير نوشته ميشود [۵]:
(۱) µuk,jj + λ+( µ)u j,jk −ρ =uk 0 کـه در آن، uk = u ( )k x بيـانگر ميـدان جابـه جـايي، µ و λ ثابتهاي لامه،ρ جرم حجمي، کاما نشان دهنده مشتق نـسبتبه مختصات مکاني، و نقطه بيانگر مشتق نسبت به زمـان اسـت . در رابطه (۱) از جبر انديسي (k =1,2 )استفاده شده است. حل معادله (۱) به صورتuk = uck + upk قابل بيـان اسـت کـه درآنuck وupk بهترتيـب بيـانگر حـل همگـن و حـل خـصوصيهستند. با بهکارگيري روش ماندههاي وزن دار۱۵ براي معادله (۱) با يک تابع وزن پيوسته (معروف به حل اساسي۱۶) بـر حـوزهي Ω و اســتفاده از نظريــه گــرين۱۷، معادلــه زيــر بــه دســت مي آيد [۱]:
clk ( )ξ

uk ( )ξ +p*lku dk Γ =
(۲)

ξ∉Ω اگـر clk ( )ξ = 0 ، ξ∈Ω اگر clk ( )ξ =δlk ،که در آن . همــوار باشــد ξ و مــرز در ξ∈Γ اگــر clk ( )ξ = δ12 lk و
همچنــين بــراي نقطــه چــشمه۱۸ ξ و نقطــهي ميــدان۱۹ x ،
u*lk = u*lk (ξ, x) وp*lk = p*lk (ξ, x) به ترتيب بيانگر حلهـاياساسي جاب ه جايي و ترکشناند [۱]. به عـلاوهpk نـشان دهنـدهترکشن (تنش سطحي) است.
از آنجا که آخرين جمله معادله (۲) يک انتگرال روي حوزه است، امکان فرمولبندي روش اجـزاي مـرزي در ايـن مرحلـهوجود ندارد، مگر اينکه انتگرال روي حوزه به طريقي به انتگرالروي مرز تبديل شود. اين تبديل با استفاده از يک رابطـه تقابـلديگر که بين دو حالت الاستواستاتيک نوشته ميشود به صورترابطه (۳) قابل دستيابي است. اساسﹰا نامگذاري اين روش به نامروش تقابل دوگانه، بهدليل همين دوبار استفاده کـردن از رابطـهتقابل است [۵].

Ω (۳)

*lkkpu*lkp dpk Γ
که در آن،upk وppk مربوط به حـل خـصوصي يـک حـوزهي نامحدودند. اگر جمله اينر سيρuk به صورت يک تابع معلـومباشد، آنگاه اين حلهـاي خـصوصي را مـيتـوان بـه صـورتتحليلي از حل معادله (۱) بهدست آورد . اما در عمل، از آنجا کهاين جمله به صورت يک تابع معين وجود نـدارد از يـک رونـدحل تقريبي استفاده ميشود که در آن، توابع پايه شـعاعي نقـشاساسي را ايفا ميکنند.

۳- پيشنهاد تابع پايه شعاعي چند ربعي معکوس
براي پيدا کردن حلهاي خصوصي توضيح داده شده در بالا،
جمله اينرسـيρ =ρuk u ( )k x در حـوزهيΩ بـا اسـتفاده ازيک سري ضـرايب نـامعين (α =αmk k (ym و مجموعـهاي ازتوابع معينf m = f(x, ym ) (معروف به توابـع پايـه شـعاعي) تقريب زده ميشود، که در آنهـاm =1,2,…,M بيـانگر تعـداداعضاي مجموعه، وx و ym بـه ترتيـب نقـاط چـشمه و ميـدانجديد هستند [۵]. بنابراين ميتوان نوشت:
(۴) k M m km

. يک سوال مهم که در اين مرحله بهوجود مي آيد اين اسـت کـهچه نوع توابعي براي توابع پايه شعاعي مناسباند؟ در اين مقاله،روي يک نـوع از توابـع پايـه شـعاعي کلـي بـه نـام چنـد ربعيمعکوس که به صورت زير بيان ميشود، تمرکز شده است.
44043632093

(۵) 2f(r) = 1+ ε1( r) که در آنε پارامتر شکل تابع پايه شعاعي م چند ربعي معکوساست. بنابراين، توابع تقريبيf m به صورت زيـر معرفـي مـي-شوند:
123672624814

(۶) 0 ≤ rm ≤ rmaxm , f m = 1+ ε(1rm 2) که در آن، rm = x – ym فاصلهي بين نقاط x وym است و rmaxm حداکثر rm اي است که امکـان دارد در حـوزه Ω وجـودداشته باشد . ميدانهاي جابـه جـايي و ترکـشن حـل خـصوصيمي تواند با استفاده از هسته هاي فرضي جديـد بـه صـورت زيـرتعريف شود[۱۰] :
upj

mjllm (۷)
و همچنين
ppj

Mmjllm (۸)
در مع ادلات فـوق، ψ =ψmjl jl (x, ym ) و η =ηmjl jl (x, ym ) توابع هسته هاي فرضي مناسبانـد کـه در قـسمتهـاي بعـديمحاسبه مي شـوند. همچنـينl =1,2 بيـانگر جهـت بـار واردهاست. با جاگذاري معادله (۴) در معادله (۱) رابطه زير بهدسـتميآيد:
(۹) µ upk,jj + λ +( µ)upj,jk =

M f mαkm حال اگر حل خصوصي موجود در سمت چپ معادلـه فـوق ازمعادله (۷) جايگزين شود، رابطه زير حاصل ميشود:
µ ψ( mklαlm ),ii + λ+( µ ψ)( ilmαlm ),ik = f mαmk (۱۰) :که بعد از سادهسازي به رابطه زير منجر ميشود
(۱۱) µψmkl,ii + λ +( µ ψ) il,ikm = f mδkl روابط بالا ارائهکننده يک دستگاه معادلات ديفرانسيل درگيـر بـامشتقات جز يياند. اولين گام در حل اين دستگاه استفاده از يکتغيير متغير مناسب است، بهطوري که دستگاه از حالت درگير بهغيردرگير تبديل شـود. در ايـن جـا از روش تفکيـک بردارهـايگالرکين [۱] بهصورت زير استفاده ميشود.
ψmkl = gmkl,jj −

λ +λ +2µµ gmkj,lj (۱۲) که در آن
(۱۳) gmkl = gkl (x y, m ) با جاگذاري معادله (۱۲) در معادله(۱۱) و با توجه به ايـن نکتـهکــه gmkl = gmδkl [۱] ، معادلــه (۱۱) بــه صــورت معادلــه ديفرانسيل اسکالر زير خلاصه ميشود:
µg,jjiim = f m (۱۴) و يا
48006056965

∇4G = 1 f m µ (۱۵)
در معادل ه ب ايهارمونيـک (۱۵)، G = gm بيـانگر ي ک ح ل خصوصي است که در بخش (۳-۱) به دست مي آيـد . همچنـين،هستههاي جاب ه جايي و ترکشن فرضـي بـه صـورت زيـر قابـلمحاسبه اند [۱]:
41833862791

ψmkl = δkl ⎡⎢G′ + G′′⎤ − λ +⎣µR ⎡G′ ⎥⎦ ⎤ (۱۶)
λ + 2µ ⎢⎣ R (δkl −R,kR ),l + G R′′ ,kR,l ⎥⎦ و همچنين
ηmkl = (n Rl,k +δklR,n )µ{G′′′
91211443602

+ λ +λ2µ ( G2′ − GR′′) ⎫⎬ R⎭
⎧ G′G′′λ⎫
84658215182

+ n Rk,lµ ⎨⎩(R2 − R )+ λ + 2µ G′′′⎭⎬ (۱۷)
− R,kR R,l,n 2 (µ λ +µ) {G′′′
λ + 2µ
+(3 G2′ − GR′′)⎫⎬ R⎭
که در آن ها،R(= rm ) براي سادگي روابط انتخاب شده اسـت. همچنينnl بيانگر مولفههـاي بـردار نرمـال و ′G′′ ، G و ′′′G معرف مشتقات G نسبت به R هستند.

۳-۱- حل خصوصي معادله بايهارمونيک
نظر به اينکـه جـسم فرضـي داراي ابعـاد نامحـدود اسـت،بنابراين هر نقطه از آن که انتخاب شود مرکز يک دايره به شعاعبينهايت است، و ميتوان گفت تقارن دايرهاي وجود دارد. برای يک ماده همسانگرد، میتوان مسئله را در مختـصات قطبـي نيـزبيان کرد که با توجه به تقارن دايرهاي، متغير زاويـهي دورانθ قابل صرفنظر است. بنابراين، راحت تر آن است کـه از عملگـربايهارمونيک زير استفاده شود:
∇4 = ∇ ∇22 =
16002092032

⎛⎜ ∂2+ 1∂ ⎞⎛⎟⎜ ∂2+ 1∂ ⎞⎟ =
⎝⎜ ∂R2R ∂R ⎟⎜⎠⎝ ∂R2R ∂R ⎟⎠ (۱۸)

∂R ∂∂R
با توجه به اينکه در محاسبهψmkl وηmkl ، از تابعG اسـتفادهنميشود، مي تـوان معادلـه ديفرانـسيل (۱۵) را بـر حـسب ′G مرتب کرد و مستقيمﹰا ′G را از حل معادله ديفرانسيل زيـر بـه-دست آورد:
20066-252614

3
2
3
2
2
2
1
(
)
(
(
)
)
G
G
G
R
R
R
R
R
1
1
(
)
G







+




+
=

3

2

3

2

2



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید