تحليل ارتعاشي تير دورانکننده ترک دار با سطح مقطع متغير با استفاده
از روش انتقال ديفرانسيل

١
سعيد طالبي و عليرضا آريايي* دانشکده فني مهندسي ، گروه مهندسي مكانيك، دانشگاه اصفهان

(دريافت مقاله: ١٤/٠٩/١٣٩١- دريافت نسخه نهايي: ٠٧/٠٥/١٣٩٢)

چكيده – در اين مقاله مشخصههاي ارتعاشي يک تير اويلر- برنولي ترکدار در حال دوران با سطح مقطع متغير با استفاده از روش انتقال ديفرانسيل بررسيميشود. اثر موقعيت و اندازه ترک، سرعت چرخش و شعاع چرخش تير در محاسبه فرکانسهاي طبيعي و شکل مودها مورد بررسي قرار ميگيرد. نتايج عـدديبراي تير دوراني بدون ترک و ترکدار اويلر- برنولي با سطح مقطع متغير بهدست آمده و با روشهاي ديگر مقايسه ميشود. مشاهده ميشود که دقت روش انتقال ديفرانسيل براي تحليل ارتعاشي تيرهاي دوراني با سطح مقطع متغير خصوصاﹰ براي سرعت هاي دوراني زياد، نسبت به روش هاي ديگر بيشتر است.
واژگان كليدي: تير اويلر- برنولي، روش انتقال ديفرانسيل، تير دورانکننده، ترک، فرکانس طبيعي.

Vibration Analysis of a Cracked Rotating Tapered Cantilever Beam Using Differential Transform Method

S. Talebi and A. Ariaei

Department of Mechanical Engineering, Faculty of Engineering, University of Isfahan

Abstract: This paper studies the vibration characteristics of a cracked rotating tapered cantilever Euler–Bernoulli beam with linearly varying transverse cross-section using Differential Transform Method (DTM). The effects of the crack location, crack size, rotating speed and hub radius in calculating the natural frequencies and mode shapes of cracked tapered beam by using this method are investigated. Numerical results for a beam with and without crack with variable cross-section are obtained and compared with other methods. It is seen that the accuracy of the differential transform method for the vibration analysis of the beams with variable cross-section is higher than other methods, especially for the case of high rotational speed.

Keywords: Euler-Bernoulli Beam, Differential transform method, Rotating beam, Crack, Natural frequency.
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: ariaei @eng.ui.ac.ir
٧١
فهرست علائم
فاصله ترک تا انتهاي ثابت، (متر) نسبت ارتفاع تير در ابتدا و انتهاي تير ضريبي براي تعيين موقعيت ترک چگالي (کيلوگرم بر مترمکعب) سرعت زاويهاي بي بعد فرکانس طبيعي تير ترکدار فرکانس طبيعي تير بدون ترک LC α β ρ γ ωc ωo مساحت، (مترمربع) عمق ترک، (متر) عرض تير، (متر) نسبت باريکشوندگي مدول يانگ، (پاسکال) ارتفاع متغير تير، (متر) گشتاور دوم سطح، 4m طول تير، (متر) A ac b c
E h
I L
١- مقدمه
طراحي و تحليل سازههاي مهندسي مانند تيغههاي روتـورهليکوپتر، تيغههاي توربين بادي و تيغههـاي ملخـک هواپيمـاتوجه زيادي را به رفتار ارتعاشي تيرهاي دوراني به خود جلب کرده است که به طور چشمگيري بـا حـذف پديـده نامناسـبتشديد و هم چنين رويکـرد کنتـرل ارتعاشـي مناسـب، بهبـودمي يابد [۱-۳]. در مقايسه بـا تحقيقـات گـستردهاي کـه رويتحليل ارتعاشي تيرهاي دوراني بدون ترک انجام شـده اسـت،توجه کمتري به مشخصههاي ارتعاشي تيرهاي تـرکدار بـودهاست. اين در حـالي اسـت کـه سـازههـاي دورانـي بـه دليـلخستگي مداوم يا تغيير شـکلهـاي سـاختاري، بـهراحتـي درمعرض نقايصي هم چون ترک هستند. مدلسازي دينـاميکي وتحليل تيرهـاي دورانـي تـرکدار بـسيار مهـم بـوده و اخيـرﹰامحبوبيت زيادي پيدا کردهاند [۴]. اين تيرها معمو ﹰلا به تيرهاييک بعدي اويلر- برنولي يا تيموشنکو که در معـرض نيـرويخمـشي گريـز از مرکـز هـستند، سـاده مـي شـوند. معـادلات ديفرانسيل حاکم براي تيرهاي با سطح مقطع متغيـر، ضـرايبمتغيري براي تغييرات نيروي گريز از مرکز وهندسه در امتـدادطول تير را در بر ميگيرد. روشهاي تقريبـي متفـاوتي بـرايتحليل ارتعاشي مسئلهي تير دورانکننـده مطـرح شـده اسـت.
٧٣
هودگس و روتکوسکي [۵] روش اجزاي محدود مرتبه متغيـررا براي بـهدسـت آوردن خـواص ارتعـاش آزاد تيـر دورانـيمعرفـي کردنـد. ناگولـسواران [۶] ارتعـاش جـانبي يـک تيـر يکنواخت اويلر – برنولي را بر مبناي حل عمومي معادله شکل مود و با استفاده از برهمنهي چهار تابع مستقل خطـي بررسـيکرد. رائو و گوپتا [۷] روش اجزاي محدود را بـراي بـهدسـتآوردن فرکانس طبيعي و شکل مودهاي تير دورانـي بـا سـطحمقطع متغير بهکار برد ند. گوندا [۸] يک جزء مرتبه بالاتر را کهتابع شکل آن با توابع چندجملهاي و مثلثـاتي بـهدسـت آمـدهاست، پيشنهاد ميدهـد کـه بـراي تحليـل دينـاميکي تيرهـايدوراني با سطح مقطع متغيـر مناسـب اسـت. سـپس، گونـدا و گانکولي [۹] فرض کردند که جابه جايي عرضي به عنوان يـکتابع مرتبه چهار تغيير ميکند و شکل جديدي از تابع به دسـتميآيد که قسمت استاتيکي معادله ديفرانـسيل حـاکم را ارضـامـي کنـد . بعـدﹰا گونـدا [۱۰ و ۱۱] يـک روش جديـد اجـزاي محدود را براي تحليل ارتعاش آزاد ميلههـاي دورانکننـده بـاسرعت بالا ارائه داد که شـکل توابـع آن ترکيـب خطـي حـلمعادله ديفرانسيل استاتيکي حاکم بر يـک فنـر سـخت و يـک چندجملـهاي درجـه سـه اسـت. بـازون [۱۲] مشخـصههـايارتعاشي يک تير تيموشنکو با سطح مقطع متغير را با اسـتفادهاز روش اجزاي محدود بررسـي کـرد. همچنـين بـازون [۱۳] روابط بين فرکانسهاي درون صـفحهاي و بـرونصـفحهاي رابرحسب ض رايب ساتول مورد بحـث قـرار داد. بـازون [۱۴] ارتعاش يک ميله دوراني بـا سـطح مقطـع متغيـر را بـا روشاجزاي محدود بررسـي کـرد کـه در آن مـاتريسهـاي جـرم،الاستيک و سختي گريز از مرکز به طور روشني برحسب نـرخباريکشـوندگي بيـان مـيشـود . يـو [۱۵] بـه طـور همزمـانمشخصههاي دينامي کي تيغه هاي چرخـشي پـيش چرخيـده بـاجرم متمرکز را مورد بررسي قرار داد. عطارنژاد و شهبا [۱۶] از توابـع جابـ هجـايي اصـلي بـهدسـت آمـده از حـل معادلـ هي ديفرانسيل استاتيکي حرکت صفحهاي تيـر دورانـي بـا سـطحمقطع متغير اويلر- برنولي بـراي تعيـين فرمـولهـاي اجـزايمحدود استفاده کردند. وينـود [۱۷] يـک طيـف تقريبـي را بـااسـتفاده از روش اجـزاي محـدود بـراي دو تـابع درونيـاب ديفرانسيلي بـه منظـور تحليـل ارتعـاش آزاد و انتـشار امـواجتيرهاي با سطح مقطع متغير و يکنواخت معرفي کرد. بـانرجي[۱۸] از روش سختي ديناميکي بـراي مطالعـهي ارتعـاش آزادتيرهاي دور اني با سطح مقطع متغيـر اسـتفاده کـرد کـه در آنارتفاع يا پهناي تير به طـور خطـي در امتـداد طـول آن تغييـرميکند. وانگ و ورلي [۱۹] روش سختي ديناميکي را بر مبنايروش فروبنيوس براي به دست آوردن فرکانسهاي طبيعي تيردوراني با سطح مقطع متغير بهکار بردند . کام ﹰلا مـشهود اسـتکه ترک روي يک تير، انعطاف موضعي را افـزايش و بنـابراينخواص ديناميکي تير مانند فرکانسها و شکل مودها را تغييـرميدهد. در نتيجه امکان تخمين موقعيت و اندازه تـرک بـرايتير ترکدار وجود دارد. تاثير ترک به طور گسترده در مقـالاتبررسي شده است و رويکردهاي گوناگوني براي مـدل کـردنترک توسعه يافتـه اسـت. چانـگ و چـن [۲۰] روش اجـزايمحدود را براي تحليل يک تيغهي دوراني ضخيم ترک دار بـهکار بردند و سپس يک رويکرد موجهـاي کوچـک فـضايي رابراي نمايش ترک در ايـن تيغـه مطـرح کردنـد. کـيم [۲۱] از روش اجزاي محدود براي بحث روي تير کامپوزيتي دوراني با يـک تـرک عرضـي اسـتفاده کـرد. کوانـگ و هوانـگ [۲۲] و هوانگ [۲۳] به ترتيب مکان يابي ارتعاشي و پايداري تيغههـايدوراني با سطح مقطع متغير و يکنواخـت را بـا بررسـي تـاثيرمکان ترک با اسـتفاده از روش گـالرکين مـورد بررسـي قـراردادند. مسعود و آل سعيد [۲۴] يک مدل رياضي را از معادلات لاگرانژ به کمک روش مودهاي فرضي استخراج کردند و برايتوصيف ارتعاش جانبي تير تيموشنکوي ترکدار دوراني بهکار بردند.
امروزه تيرهاي دوراني نايکنواخت به دليل عملکـرد ويـژهآنها و رسيدن بـه توزيـع مقاومـت و جـرم بهتـر، کاربردهـايفراواني پيدا کردهاند [۲۵]. از اين رو تحليل ارتعاشي اين تيرهااهميــت فراوانــي دارد . روش انتقــال ديفرانــسيل يکــي ازروش هاي عددي پرکـاربرد بـراي حـل معـادلات ديفرانـسيلاين گونه تيرهاست . اين روش بر مبناي بسط سري تيلور استکه اولين بار توسط زهو [۲۶] معرفي شده است. اگر چه ايـنروش براساس بسط سري تيلور است، اما هنوز به طـور کلـيدر مراتب بالاتر تفاوتهايي با آن دارد و براي هر نـوع سـطحمقطع و تغيير شـکلي قابـل اسـتفاده اسـت. از محاسـن روشانتقال ديفرانسيل دقـت بـالا و حجـم محاسـبات پـايين آن درتحليل مسايل ارتعاشي اسـت. اوزدميـر و کايـا [٢٧] از روشانتقال دي فرانسيل براي تعيـين فرکـانسهـاي طبيعـي تيرهـاي نايکنواخت استفاده کردند. ايشان با مقايسه نتايج اين روش بـاروش اجزاي محدود دقت بالاي آن را در تعيين فرکانسهـايطبيعي نشان دادند. مي [٢٨] روش انتقال ديفرانـسيل را بـرايتحليل تيرهاي چرخشي بهکار برد . او زمان حل مورد نيـاز دراين روش را بهدست آورد و نشان داد در صورت کاربرد ايـنروش به زمان کمي براي تعيين فرکانسهاي طبيعي نياز است.
سادونگ و همکارانش [٢٩] کاربرد روش انتقال ديفرانسيل رادر تيرهاي با قيدهاي الاستيک مياني بررسـي کردنـد و نـشاندادند در اين روش ميتوان با حجم محاسبات کم بـه نتـايجيبا دقت قابل قبول رسـيد. در ايـن مقالـه بـا اسـتفاده از روش انتقال ديفرانسيل فرکانسهاي طبيعي بيبعد تير باريکشـوندهاويلر- برنولي ترکدار تعيين و اثرات نـرخ باريـکشـوندگي،سرعت دوراني و شعاع توپي روي فرکانسهاي طبيعي بررسي ميشود. قابل ذکر است که در اين مقاله ارتعاشات عرضي تير دوراني مورد نظر است و از ارتعاشات درونصفحه عمود بــر

شکل ۱- تير دوراني ترک دار با سطح مقطع متغير

محور دوران و پيچشي تير صرفنظر مي شود.

۲- فرمولبندي
يک تير اويلر- برنـولي در حـال دوران و داراي تـرک بـاسطح مقطع متغير در نظر گرفته ميشود. همان طور کـه شـکل(۱) نشان مي دهد، اين تير به يک توپي با شعاع R متصل است که با سرعت زاويهايΩ حول محور ثابت ميچرخد. ارتفـاعتير به طور خطي در طول آن تغيير ميکند. در تحقيـق حاضـرتير دوراني ترکدار با سطح مقطع متغير به سه جزء در مقطـععرضي ترک تفکيک ميشود، شکل (۱) را ببينيد. در اين مقاله از نظريه تير اويلر- برنولي استفاده شده است و از آنجاييکـه در اين نظريه از تغيير شکل برشي صرف نظر ميشود ترک تنها با يک فنر پيچشي مدل ميشود [۲۰]. اين در حالي اسـت کـه در صورت استفاده از نظريه تير تيموشنکو بايد به جاي تـرک از دو فنر، يکي خطي و ديگـري پيچـشي اسـتفاده کـرد [۲۴].
وجود ترک تغييري در توزيع جـرم در امتـداد تيـر بـه وجـودنميآورد. نيروهاي گريز از مرکزي که در هر مقطع (در هر دوطرف راست و چپ) از اجزاي آن اعمال ميشـوند از روابـطزير محاسبه ميشوند:
13106433545

(۱)

∫ ρΑΩ2 (R +L1 + x dx)
0
T2 (X2 ) = L∫2 ρΑΩ2 (R L+ 1 +x dx) (۲) X2
در موقعيت ترك رابطه (۳) برقرار است:
(۳) ( ) 2T x1 ( ) =T x همچنين مي توان نوشت:
Α ( )x = Αg ⎛⎜⎝1−

cxL ⎞⎟⎠n (۴)
n 2+
ΙZZ = ΙZg ⎝⎜⎛1−

cxL ⎠⎟⎞ (۵) ΙYY = ΙZg ⎜⎛1−

cx ⎟⎞n 2+ (۶)
⎝L ⎠
کـه در آن A و IYY و IZZ بـهترتيـب سـطح مقطـع عرضـي و گشتاور دوم سطح حول محورهايY وZ هستند. زيرنويسg متناظر با انتهاي چپ تير اسـت کـه در شـکل (۱) نـشان دادهشده است. نرخ باريکشوندگي با ثابتc نشان داده مـيشـودکه بايد از يک کوچکتر باشد، زيرا در غير اين صورت ارتفـاعتير قبل از رسيدن به انتهاي آن به صفر مـي رسـد. مقـادير ۲ و ۱= n بيـشترين حالـت کـاربردي را در بـر مـي گيـرد (۱= n تغييرات خطـي سـطح و ۲= nتغييـر ات مرتبـه ۲ سـطح را درامتداد طول ميدهد). مقاطع عرضي زيادي را ميتوان با مقادير ۱=n و ۲= n معرفي کرد. مدول يانگ (E) و چگالي مـاده (ρ) ثابت فرض ميشوند. بر طبـق نظريـه اويلـر- برنـولي معادلـهديفرانسيل حاکم براي حرکت دوراني تير به صورت زيـر دادهميشود:
195072108341

ρΑ∂2wi + ∂2 ⎛⎜ΕΙ∂2wi ⎞⎟−
∂t2∂x2 ⎜⎝∂x2 ⎟⎠ (۷)
3330702129179

θ= π6 a f a12 J ( 1)⎛ ⎞⎜ ⎟H (۱۷)ρΑ∂2wi + ∂2 ⎜⎛ΕΙ ∂2wi ⎟⎞−
⎝ ⎠L 22 ⎜∂x2 ⎠⎟ (۸)
∂t∂x ⎝
3166110102263

که در آن∂ ⎛∂wi ⎞ = 0 , i =1, 2
⎜Ti⎟ ∂x∂x
3048041457

x ⎜⎛⎝Ti ∂∂wxi ⎟⎞⎠= ΡW , i =1, 2∂∂که در معادله بالاwi جابهجايي عرضي وPw نيروي اعمالي بـرواحد طول است. با در نظر گرفتن ارتعـاش آزاد تيـر، نيـروياعمالي بر واحد طول آن صفر در نظر گرفته ميشود و معادلـه(۷) بهصورت زير بيان ميشود.

fD 1(a ) = 0.53353− 0.929a14+3.500a12 − (۱۶) 3.181a1 +5.793a1 [۳۰] و براي ترک يک طرف باز مي توان نوشت
⎝⎠
تير شکل (۱) داراي چهار شرط مـرزي در ابتـدا و انتهـاي آنبهصورت زير است:
35966478306

w1 =∂∂wx1 = 0atx = 0 (۹)

∂2xw∂3xw = 0atx = L (۱۰)

شرايط پيوستگي در محل ترک عبارتاند از :

L , twL , t (۱۱)

∂∂2xw∂∂2xw (۱۲)

∂∂3xw31 (L ,t−C ) =

∂∂3xw32 (L ,t+C ) (۱۳)

کهL+C و L−C بهترتيب مکان هايي بلافاصله در بعـد و قبـل ازموقعيت تـرکLC را نـشان مـيدهنـد . عـلاوه بـر ايـن، يـکناپيوستگي در شيب تير در محـل تـرک ايجـاد مـيشـود کـهمي تواند بهصورت زير بيان شود:
∂w∂w
102108-208707

(
)
(
)
(
)
2
1
C
C
2
2
C
L,t
L,t
x
L,t
L
+

+



(

)



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید