بهينه سازي چيدمان چندلايه هاي كامپوزيتي با استفاده از روش سطح پاسخ و الگوريتم ژنتيک به منظور افزايش حد تحمل بار كمانش

١
احمدرضا قاسمي* و محمد هادي حاج محمد۱
۱. دانشکده مهندس ي مکانيک، دانشگاه كاشان

(دريافت مقاله: ٠٣/١٠/١٣٩٠- دريافت نسخه نهايي: ٠٤/٠٧/١٣٩١)

چكيده. در اين تحقيق بهينه سازي چيدمان چندلايه هاي کامپوزيتي با استفاده از روش الگوريت م ژنتيک و سطح پاسخ براي افزايش حد تحمل بار کمانش مورد مطالعه قرار گرفته است. يبرا يافتن تابع كمانش پوسته استوانهاي كامپوزيتي به روش سطح پاسخ، ابتدا چندين تحليل به روش اجزاي محدود انجام شده و سپس به روش محاسباتي حداقل مربعات، دو تابع چندجملهاي يکي درجه ي ك و ديگري درجه دو به دست آمده است. آنگاه تغ يير در حد تحمل كمـانش بـا تغييـ ر درچيدمان لايه هاي كامپوزيت صورت گرفته و فرايند بهينه سازي بار كمانش به كم ك الگوريت م ژنتي ك براي مدل استوانهاي انجام شده است. پس از بهينه سازي به كمك الگور يت م ژنت ي ك، بار کمانش چيدمان بهينه با استفاده از نرم افزار مطلب بهدست آمده است. ه م چن ين براي ارز يابي روش به کار رفته در اين تحق يـق، بـارکمانش براي يک چهاروجه ي کامپوز يتي با روش ارايه شده در اين تحق يق بهدست آمده و با نتايج تحليلي ديگر پژوهشگران مقايسه شده و نشان داده شده است که از دقت خوبي برخوردار است.

واژگان کليدي: ترتيب چيدمان، روش سطح پاسخ، الگوريت م ژنتيک، بهينه سازي، بار كمانش

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: ghasemi@kashanu.ac.ir زمستان
Optimization of Stacking Sequence for Buckling Load Using the
Response Surface Method and Genetic Algoritms in Laminated Composite Materials
A. R. Ghasemi and M. Hajmohammad

1. Mechanical Engineering Department, University of Kashan, Kashan.

Abstract: In this research, layup sequence of composite laminates was optimized by using the response surface method and Genetic Algorithms (GA) in order to increase their buckling capacity. In order to define the buckling function of composite cylinder by using response surface method, several finite element models were run, and by using least square method, two functions, namely, first and second order polynomial functions were obtained. A genetic algorithm was employed to optimize buckling capacity of the composite cylinder by changing layup sequence of the laminates. Finally, after optimization by GA, MATLAB software was employed to obtain buckling capacity of the optimum layup. In addition, in order to confirm the accuracy of the developed optimization method in this research, buckling capacity of a rectangular composite plate was obtained by the present method and was compared with the results of the other researchers.

Keywords: Stacking sequence, Response surface, Genetic algorithms, Buckling load.
١- مقدمه
اجزاي مختلف يك سازه هنگامي که تحت بارها ي فـشاري قرار گيرند، دچار كمانش و ناپايداري م يشوند. با افـزايش حـدتحمل بار كمانش، در تامين مواد و هزينه صرفهجويي م ي شـود .
بهينهسازي سازههاي كامپوزيتي به منظـور افـزايش تحمـل بـاركمانش در دهههاي اخ ير اغلب با استفاده از متغيرهايي همچـونتعداد لا يهها، ضخامت لايهها، ترتيب چيدمان لايهها، و تغيير درپارامترهاي لا يهاي صورت گرفتـه اسـت. بـا توجـه بـه اهم يـت بهينه سازي بارهاي كمانش مقـالات متعـددي بـه ايـ ن موضـوعپرداختند. اسپالينو و تيراوف (۲۰۰۰) به كمك الگوريتم ژنت يـك بــه بهينــه ســازي بــار كم ـانش يــك چهــاروجه ي كــامپوزيتي پرداختنـ د[۱]. آدالــي و همكـ ارانش (۲۰۰۳) بهينـ هسـ ازي چندلايههاي كامپوز يتي تحت بارهاي كمانشي خارج از محور رامطالعـه كردنـد[۲]. ودزنبـت و همکـاران (۲۰۰۳) افـزايش بـار كمانش قابها ي استوانهاي و تأثير تقو يت كننده هـاي شـبكهاي رابررســي كردنــد[۳]. تــودوروکي و ايــشيکاوا (۲۰۰۴) از روش تخمين سطح پاسخ۱ بـه منظـور بـه دسـت آوردن تـابع كمـانشاستفاده و با روش تقريبي ظرفيت تحمـل بـار کمـانش را بهينـهكردند[۴]. اردال و سونمز (۲۰۰۵) به منظور افزايش تحمـل بـاركمانش در يك چهاروجه ي از روش شبيه سازي آنـالوگ٢ بهـرهجستند [۵]. شاكري و همكاران (۲۰۰۶) به بررس ي به ينـه سـازي چندلايه كامپوز يتي به كمك الگوريتم ژنت يك پرداخته و بارهـاي کمــانش و فرکــانس طب يعــي را بهي نــه كردنــد[۶]. هــم چنــين تودوروکي و سکيشيرو (۲۰۰۷) از روش شـاخه و قيـ د منـتظم٣ براي بهينهسازي تابع كمانش يك چهـار وجهـي تقو يـ ت شـده،استفاده و اين تابع را به روش تقر يب سطح پاسخ تعيين كردنـد.
در اين روش هر انتخاب به دو زير مجموعه تقـسيم شـده و درصورتي که نمونه مورد نظر داراي مقدار قابل قبول بود در مسير بهي نهسازي باقي مانده و به شاخه هاي ز يرين تقـسيم شـده و درغير ا ينصورت حذف مي شود[۷]. توپال و اوزمـان (۲۰۰۸) بـهكمك رو ش مسير امکانپذير اصلاح شده۴ به بررسي به ينه سـازي بار كمانش ي گرمايي در چند لايه هـاي كـامپوزيتي پرداختنـد[۸]. احمديان و همکاران (۲۰۱۱) يک چهاروجهي تحت بار فشاري را براي افزايش حد تحمل کمانش به کمک روابـط تحلي لـي بـهعنوان تابع هدف و با استفاده از روش الگـوريتم ژنت يـک مـوردبررسي قرار دادند[۹]. در تمام ي اين پژوهشها تابع کمانش سازهبا روشها ي تحل يلي به دست آمده و سپس بار کمانش با روشهاي ذکر شده به مقدار بهينه نزديک شده است. عمـار علـي حـسين (۲۰۱۱) بهي نهسازي کمانش يک چهار وجهي کـامپوزيتي تحـتبار مکان يکي و گرمايي در شرايط مـرزي مختلـف را بـه کمـکروش سطح پاسـخ و الگـوريتم ژنت يـ ک مـورد بررسـي قـرار داده و اززواياي ال ياف به عنوان متغيرهاي ورودي بهره جـست[۱۰]. هـم چنـين فالزون و فاگياني (۲۰۱۲) افزايش بار پس از کمانش و شکست ناشـي از آن را براي يک چهاروجهي بررس ي كرده و به کمک الگوريتم ژنت يک و با تغيير در چيدمان بهينه سازي را انجام دادند[۱۱].
در اين تحقيق به منظور بهينه سازي سازه هاي كامپوزيتي در برابر بارهاي کمانش، از روش الگوريتم ژنتيك و براي محاسبه تابع هدف و بار كمانش نيز از روش سطح پاسخ استفاده شده است. همچنين براي مدل سازي نمونه هاي مورد نياز در روش سطح پاسخ از نرمافزار ANSYS و به منظور بهينه سازي به روش الگوريتم ژنتيك از نرم افزار MATLAB استفاده شده است. در اين تحقيق براي تعريف متغيرهاي تابع كمانش پارامترهاي لايه اي در چندلايه هاي كامپوزيتي مورد استفاده قرار گرفته است. در اين روش با تغيير در چيدمان لايه ها، توابع هدف بهينه شده و چيدمان بهينه براي تحمل بارهاي کمانش به دست ميآيد.

۲- روش سطح پاسخ
روش سطح پاسخ، شاخه اي مهم از روشهاي رياضي و آماري بسيار مفي د است که در توسعه روشها ي جديد بهينهسازي به صورت مؤثر عمل مي کند [۱۲و۱۳]. در کاربرد اين روش توسعه يک مدل تخمين ي براي سطح پاسخ ضرور ي است. مدل تقريبي بر اساس دادههاي مشاهده شده از فراي ند يا سيستم بوده و يک مدل تجربي است. مجموعه اي از روشهاي آماري مفيد براي ساخت انواع مدلهاي تجربي مورد نياز در روش سطح پاسخ (RSM) به كار رفته است كه با عنوان رگرسيون مضاعف معرفي مي شود. مدل رگرسيون خطي مضاعف مرتبه اول با دو متغير مستقل به شکل زير نمايش داده مي شود[۱۴]: (۱) y=β +β0 1 1x +β2 2x +ε
معادله (۱) يک معادله خطي با ثوابت مجهول 2 , 1β0 ,β β است. متغيرهاي مستقل 1X و 2X را به نام متغيرها ي پيشگو ميشناسند.
۳- تحليل مدل رگرسيون مضاعف به روش حداقل مربعات
براي تحليل معادله (۱) و تعيين پارامترهاي β در روشي که به روش حداقل مربعات مرسوم است، يک تخمين زننده بدون جهتگيري که مجموع مربعات باقيمانده هاست، به شکل زير تعريف ميشود:
SSE

(yiy )iei2e eT (۲)
در معادله (۲)، پارامتر ˆy مقدار مربوط به مدل رگرسيون تطبيق شده و y مقدار مشاهده شده است. مدل مربوط به مشاهدههاي انجام شده به صورت ماتريس زير نوشته ميشود:
Y = XB+ε (۳)
در معادله Y بردارn×1 از مشاهده ها بوده و X بردارn×p ، ترازهاي متغيرهاي مستقل است. هم چنين β بردارp×1 از ضرايب رگرسيون و ε بردارn×1 از خطاهاي تصادفي است.
اختلافات بين مشاهدات yi و مقدار تطبيقي yi نيز باقيمانده ei است.
ei = yi − yˆi
با توجه به معادلات (۲) تا (۴)، معادله زير برقرار است:
SSE = y yT −b X yTT
معادله (۵) مقدار خطا يا مجموع مربعات باقيمانده ها نام دارد.
در اين حالت تخمين زننده بدون جهتگيري 2σ به صورت زير بيان شده است: (٦) σ =2

nSS−Ep
که n تعداد مشاهدهها و P تعداد ضرائب رگرسي ون است. جمع کلي مربعات برابر است با :
⎛ n⎞2⎛ n⎞2
⎜⎜⎝∑i 1= yi ⎟⎟⎠n2 ⎜⎜⎝∑i 1= yi ⎟⎟⎠
SST = y yT −n=

yi −n
لذا ضريب تشخيص چند گانه 2R عبارت است از:
R2 = −1 SSSSTE
مقدار 2R با استفاده از متغيرها ي پيشگوي XK به دسـت آمـدهاست و مقدار کاهش در تغييرپذيري y را نشان مي دهد اگر چـهمقدار بزرگي R گو يـاي مناسـب بـودن رگرسـيون ن يـست، امـاپراکندگي R به گونهاي است که همواره 0≤ R2 ≤1 است. لذا ممکن است مدل با 2R بزرگ منجـر بـه پ يـشگويي ضـع يف از مشاهدههاي جديد شود. با توجه به آنکـه بـا افـزايش متغ يرهـا، 2R همواره افزايش مييابد، برخي مـدلها ي رگرسـ يون تـرج يح ميدهند از يک 2R سازگار آماري کـه بـه شـکل زيـ ر تعريـ ف ميشود، استفاده کنند[ ۱۵]:
SSE
707892-194823

Radj2 = −1 SST (n p− ) = −1

(1−R2 )
(n−1)به طور کلي 2Radj همواره با افزايش متغ يرهاي مدل افزايش نمي ي ابـد. در حقيقـت هنگـام افـزايش متغ يـ ر غ يـر ضـروري، 2Radj اغلب کاهش مي يابد. محققان مقدار ضـرايب پيـ شگو در مدل رگرسيون را اغلب با نتايج آزمون به دست آورده انـد، تا با افزايش يـ ا كـاهش متغيرهـا مـدل را بهينـه سـازند[۱۴].
افزودن متغير به مدل رگرسيون همواره باعث افزايش مجموعمربعات رگرسيون و کاهش خطاي مجموع مربعات نمي شود.
بن ـابراين باي ـد ت أثير اف زايش مجم وع مربع ات را مطالع ه كرد. علاوه بر اين افزودن متغير ب ي اهميت مـي توانـد خطـاي ميانگين مربعات را افزايش داده و باعث غير مفيد بودن مـدل شود [۱۵].

۴- تحليل مقادير باقيمانده
مقادير باقيمانده در روش حداقل مربعات که به صورت ei = −yi y ,iˆi =1,2,…,n تعريف ميشوند، نقش مهمي را در قضاوت بر روي دقت مدل ايفا ميکنند. محققان در روش سطح پاسخ اغلب استفاده از مقادير باقيماندههاي مدرج را نسبت به باقي ماندههاي معمول ي ترجيح مي دهند. زيرا باقيماندههاي مدرج اغلب اطلاعات بيشتري را نسبت به باقيماندههاي معمولي ميدهند. فرايند نرماليزه كردن، باقيماندهها را با تقسيم آنها بر مقدار ميانگين آنها اندازهگذاري مي كند. در برخي از مجموعه داده ها، ممکن است باقيماندهها انحراف محسوسي داشته باشند.
بردار yˆi متناظر با مقادير مشاهده شده yi عبارت است از:
yˆ = Xb = X(X X) X yT −1T = Hy (١٠)
ماتريس H = (X X) XT −1 T که يک ماتريسn× n است، معمو ﹰلا ماتريسي کلاهي۵ ناميده ميشود. زيرا بردار مقادير مشاهده شده را نسبت به مقادير به دستآمده اصلاح ميکند. ماتريس کلاهي و خصوصياتش نقش مؤثري را در تحليل رگرسيون ايفا ميکنند. از آنجا ييکه ˆe = −y y ، راههاي مفيد ديگري برا ي بيان بردار باقيماندهها وجود دارد. (١١) e = −y Xb = −y Hy = −(1 H)y
پيشگويي خطاي حداقل مربعات۶ مقياس مفيدي از باقيمانده را ايجاد ميکند.
n2
PRESS =∑⎜⎛⎝1

−eihii ⎟⎞⎠ (١٢)
=i 1با توجه به معادله (۱۲) ميتوان به راحتـي نـشان داد، باقيمانـدهپيشگو تنها باقيمانده معمـولي وزنـي مطـابق بـا عناصـر قطـري ماتريس کلاه ي hii اسـت. بـه طـور کلـي تفـاوت زيـ اد م يـ ان باقيمانده معمول ي و باقيمانده پيشگو بيـ انگر نقطـهاي اسـت کـهمدل بر اورد خوب ي از دادهها دارد و مدل توليد شده بدون چنـين نقطهاي براورد ضعيفي را نشان خواهد داد.

۵- تقريب تابع كمانش پوسته استوانهاي كامپوزيتي به روش سطح پاسخ
در اين بخش از تحقيق بهينه سازي يك پوسته استوانه اي كامپوزيتي بر اساس متغيرهاي مختلف، مورد مطالعه قرار گرفته است. پوسته استوانهاي به ارتفاع ۶ متر و قطر ۳۰ سانتيمتر را با ده لايه کامپوزيت كه ضخامت هر لايه آن ۲/۰ ميليمتر است، در نظر ميگيريم، جدول (۱) و جدول (۳). با توجه به اينكه در پوستههاي استوانهاي به دست آوردن يك رابطه دقيق براي بار كمانش مشكل است و ميبايست شرايط خاص ي براي هر رابطه برقرار باشد، بنابراين استفاده از روش سطح پاسخ بسيار مناسب
چيدمان w1 ×١٠ -١١ w2 ×١٠ -١١ بار کمانش (kN)
١ [۰۲/۶۰/۹۰/۳۰ ]sym ۴۳/۷ ٥٠/٧ ٢٢٤/٣٥
٢ [۰/۶۰/۹۰/۳۰/۰]sym ١٤/٩ ٣١/٥ ١٥٦/٧٥
٣ [۰/۶۰/۳۰/۹۰/۰]sym ٢٤/٥ ٢١/٩ ١٦٧/٦٢
٤ [۰/۳۰/۹۰/۶۰/۰]sym ٣٠/٩ ٣١/٥ ٢١٣/٤٨
٥ [۰/۹۰/۶۰/۳۰/۰]sym ١٠/١ ٤٥/٩ ١٥٢/٨٨
٦ [۳۰/۰/۶۰/۰/۹۰]sym ٣٤/١ ٢/٦٧ ١٨٢/٦٦
٧ [۳۰/۹۰/۰/۶۰/۰]sym ٥/٣٣ ١٢/٣ ١٣٧/٧٩
٨ [۶۰/۰/۳۰/۰/۹۰]sym ١١/٧ ٢/٦٧ ١٣٨/١٦
٩ [۶۰/۹۰/۰/۳۰/۰]sym -٢٣/٥ ١٢/٣ ۱۰۱/۷
١٠ [۹۰/۰/۳۰/۰/۶۰]sym -٤/٢٧ ٥٠/٧ ١٥٥/١٣
١١ [۹۰/۶۰/۰/۳۰/۰]sym -٢٩/٩ ٣١/٥ ٩٧/٩٥٥
١٢ [۳۰/۳۰/۹۰/۰۶/۰]sym ١٤/٧ -١٧/٣ ١٧٤/٠٣
١٣ [۳۰/۶۰/۹۰/۰/۳۰]sym ٠/٢٦٧ -١٢/٥ ١٣٣/٧
١٤ [۳۰/۰/۹۰/۳۰/۶۰]sym ٢٧/٥ ١١/٥ ٢٤٤/٢
١٥ [۳۰/۹۰/۶۰/۰/۳۰]sym -٤/٥٣ ١/٨٧ ١٣١/٠٤
جدول١ – مقادير بار كمانش پوسته استوانه اي كامپوزيتي در هر چيدمان

جدول ٢- پارامترهاي تابع تقريب
y a bx= + 1+cx2 +dx x1 2
a ۱۰۵× ۱/۳۷
b ۱۰۱۴× ۱/۹۱
c ۱۰۱۳× ۲/۶۴
d ۱۰۲۲× -۵/۴۱

است. ادر ين روش تعيين متغ يرهاي مؤثر برا ي تع يين يك رابطه تقريـ ب مهم است. در خصوص كامپوزيتها، مـاتريسAij ، مـاتريس سـفتي چندلايه بوده و ماتريسDij ، ماتريس خمش ي چندلا يـه اسـت.
ضرايب سخت ي كشش و خمـش مطـابق زيـ ر، كـه بـا تغييـ ر درچيدمان ال ياف تغ يير م يكند، به عنوان ضرايب مجهول در تع يـين تابع تقريب بهكار رفته است [۱۶].

(١٣)
(١٤) (١٥)
مدول برشي (Gpa) مدول
الاستيسيته
(Gpa) عرضي مدول
الاستيسيته
(Gpa) طولي نسبت
پواسون اصلي
٤/٤ ١٢/١ ١٥٥ ٠/٢٤٨
جدول ٣- مشخصات كامپوزيت کربن اپوكسي
N
264414-52293

N
k1
3

=

N

k1

3

=

Aij =∑k 1= Q (Zijk −Zk 1− )
133
Dij =Q (Zijk −Zk 1 )
⎡cos2θ⎤
⎢⎥
104394-67835

V⎢⎥dz
⎢⎥
⎢⎥
⎣sin 4θ⎦
1431041-6107

71625162299

⎡⎤
N⎢⎥
⎢⎥
⎢sin 2θ⎥
⎢⎥
⎣sin 4θ⎦
⎡⎢cos2θ⎤⎥ (١٦)
W

⎢⎥z dz2
t N⎢⎢⎣sin 4θ⎥⎥⎦


=

t N31 3 ∑k 1N= {(N− +k1)3 −(N−k)3}⎢⎢⎢⎢sin 2θ⎥⎥⎥⎥
⎣sin 4θ⎦
که در معادلات بالاN تعداد لايه ها وt ضخامت چند لايه است. با توجه به آنكه هر گاه ضخامت ثابت باشـد بـا تغييـ ر چ يـ دمان مقاديرV تغ يير نم يكند، بنابراين متغ يرهاي مـؤثر را در معادلـه زير كه با تغيير چيدمان تغيير ميكنند، درنظر ميگيريم:
N
22782410663

W =

(N− +k1) −(N−k)
⎣⎦
براي به دست آوردن حد تحمل كمـانش از نـرم افـزار اجـزاي محدودANSYS استفاده شده اسـت. در ايـ ن نـرم افـزار بـراي تحليل پوسته از اجزاي shell 99 استفاده شـده و بـرا ي تحل يـل پس از بررسي همگرا يي برا ي انتخاب تعداد اجـزاي مناسـب از١٨٠٠ جزء و ٥٤٢٣ گره در شبکهبندي اسـتفاده شـده اسـت. شـرايط مرزي استوانه نيز دو سر مفصل شبيه سازي شده است.
به كمك نرم افزارANSYS براي ١٥ چيدمان مختلف، مقادير بـاركمانش براي اين نمونه بهدست آمده و اين مقاد ير به عنـوان خروجـي براي تقريب تابع هدف درنظر گرفته شـده اسـت. همـان طـور كـه درجدول (١) مشاهده ميشـود، مقـادير بـار كمـانش پوسـته اسـتوانهاي كامپوزيتي در هر چيدمان بر حسب متغيرهاي 1W و 2W از مـاتريس معادله (١٧) بهدست آمده است. به كمك روش سطح پاسخ و بـا حـلبه روش محاسباتي حداقل مربعات، دو تابع چندجملهاي ي کـي درجـهيك و ديگري درجه دو، به شکل زير به دست ميآيند.
y = +abx1 +cx2 +dx x12 (١٨)
y = +a bx1 +cx2 +dx x12 +ex12 +fx22 (١٩)
معادله (١٨) داراي ٤ پارامتر ثابت و معادله (١٩) داراي ٦ پارامترثابت است. با توجه به پاسخهاي بهتر تابع درجـه يـ ک در ايـ ن تحقيق، ثابتهاي مستقل معادلـه (١٨) در جـدول (٢) بيـ ان شـدهاست. با استفاده از اين مقادير داريم:
⎛⎜⎜∑n yi ⎞⎟⎟2n⎛⎜⎜∑n yi ⎞⎟⎟2
1151743-51300

SST = y yT −⎝ i 1=⎠ =yi2 −⎝ i 1=⎠ = 5.43 10× 12
nn
Radj2 = −1E
T
SS
(
n
p)
n
1
1
SS
n
p
(
n
1)


=−

E

T



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید