مقايسه روشهاي مختلف تصوير در روش هيدروديناميك ذرات روان تراكم ناپذير براي
مدلسازي جريان اطراف دريچه ها

١
زهرا قدم پور۱*، سيد محمدرضا هاشمي۲، ناصر طالب بيدختي۳ و اميرحسين نيك سرشت۴
۱. بخش مهندسي راه و ساختمان و محيط زيست، دانشگاه شيراز
۲. بخش مهندسي آب، دانشگاه شيراز
۳. بخش مهندسي راه و ساختمان و محيط زيست و رئيس مركز تحقيقات محيط زيست و توسعه پايدار، دانشگاه شيراز
۴. دانشكده مكانيك، دانشگاه صنعتي شيراز

(دريافت مقاله: ١٣/٥/١٣٩٠- دريافت نسخه نهايي: ٠٩/٠٩/١٣٩٠)

چكيده – تعيين دقيق وضعيت جريان در اطراف سازههاي هيدروليكي يكي از مسائل مورد بحث توسط محقق۱ان مختلف است. در اين تحقيق تعيين وضعيت جريان در هنگام عبور از زير دريچه با استفاده از روش بدون شبكه ممنت م هيدرودينامي ك ذرات روان تراك م ناپذير مورد مطالعه قرار گرفته است. اعمال روشهاي مختلف تراك م ناپذيري سيال( دو روش تصوير۲) و نحوه تقريب جمله فشار در معادلات پايستاري ممنت م در روش عددي، در اين تحقيق مورد بحث و مقايسه قرار گرفته است. روش عددي مدلسازي سطح آزاد۳VOF به منظور مقايسه با روش ISPH ، در حل جريان مورد استفاده قرار گرفته است. مقايسه روشهاي مختلف اعمال تراك م ناپذيري سيال از نظر تحليلي و عددي با در نظر گرفتن جملههاي مناسب، نشان از شباهت اين روشها با يكديگر دارند . همچنين مقايـسه عملكـ رد نحوه تقريب جمله فشار با استفاده از منحنيهاي خطا نشان ميدهد كه اين منحنيها از ي ك روند مشابه و آشوبناكي۴ پيروي كرده و ميزان خطا در آنها در محدوده قابل قبولي است.

واژگان كليدي: روش هيدرودينامي ك ذرات روان، هيدرودينامي ك ذرات روان تراك م ناپذير، دريچه، روش تصوير

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ * : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: zahra _ghadampour@yahoo.com
Comparison of two projection methods in SPH for modeling flow under a gate

Z. Ghadampour1, M.R. Hashemi and2 N. taleb beydokhti3 and A. Hossein Nikseresht4

Department of Civil and Environmental Engineering, Shiraz University, Iran
Department of Water Engineering, Shiraz University, Iran
Department of Civil and Environmental Engineering, Head of Center for Environmental Research and Sustainable Development, Shiraz University, Iran
Department of Mechanical Eengineering, Shiraz University of Science and Technology, Iran

Abstract : Modeling free surface flow is a challenging problem in hydraulic research. The objective of this research is to compare those methods for simulation of flow around hydraulic structures. Accordingly, Incompressible SPH (ISPH) methods, with two different projection methods to enforce incompressibility, are utilized to model flow under a gate and then compared to each other from mathematical and numerical viewpoints. Moreover, the effect of pressure term approximation on conservation equation of mass and momentum with two different relations is investigated by error index. For verification of ISPH results, VOF method is applied to similar gate problem. Results show that two methods of enforcing incompressibility are numerically and mathematically equivalent if proper approximation terms are used in SPH method. Furthermore, VOF and ISPH results are in excellent agreement. Besides, two pressure terms obey similar chaotic error trend for inner and all particles (inner plus free surface).

Keywords: Smoothed Particle Hydrodynamic, Incompressible smoothed particle hydrodynamic (ISPH), Projection method,
١- مقدمه
سازه هاي هيـدروليكي در تـأمين اهـداف مختلـف از قبيـلكنتـرل، هـدايت ، انحـراف و ذخيـره آب مـورد اسـتفاده قـرار مي گيرند. به منظور طراحي، بهرهبرداري و پيش بيني شـرايط درصورت تخريب ايـن سـازههـا، اطـلاع از وضـعيت جريـان دراطراف آنها امري ضروري است. هندسـه پيچيـده، عـدم اطـلاعدقيق از وضعيت سطح آزاد جريان، پيچيدگي معـادلات حـاكم، وجود تغييرات ناگهاني جريان در مقياسـهاي زمـاني و مكـاني،توزيع فشار غير هيدرواستاتيك و… باعث مي شود، تا مدلسازيجريان در اطراف اين سازهها امري پيچيده بوده و مـورد توجـه بسياري از محققان باشد.
دريچه ها يكي از سازه هاي متحر ك بوده كه به منظور كنتـرلدبي عبوري از سازههاي هيدرولي كي نظير كانالها يـا در قـسمتآبگيـر سـد هـا و تنظـيم حجـم آب كـه يـ ك فراينـد دينـاميكي است مورد استفاده قرار مي گيرند. دريچه هـا بـه منظـور تـأمين اهداف مورد نظر و عمل كـ رد صـحيح، انـواع مختلفـي از جملـهدريچه كـشويي، قطـاعي و… دارنـد . كارهـاي آزمايـشگاهي وروابط تجربي براي تعيين دبي عبوري و پروفيل سطح آب بعـد
Gate

از دريچه و محاسبه ميزان بار ديناميكي وارده از طرف سيال بـردريچه در ادبيات تحقيق موجود است [ ۱و ۲] .
مدلسازي عددي اين جريانها در فـضاهاي يـك، دو يـا سـهبعدي و بر پايه معادلات جريان پتانسيل، اويلر، سـنت – ونـان ومعـادلات پايـستاري ج رم و ممنـتم بـه صـورت غيـر خط ي (معادلات ناوير – استوكس ) انجام مي پذيرد. عملكرد هيدرولي كي اين سازه ها بر پايه معادلات فوق الذكر بـا اسـتفاده از روشـهايعددي در گذشته مورد ارزيابي قـرار گرفتـه اسـت [۳-۵]. حـلعددي اين معادلات بر پايه دو ديدگاه كلي داراي جزء و بـدونجزء انجام پذير است. استفاده از روشهاي با جزء در حل عددياين معادلات از گذشته تا كنون مـورد اسـتفاده بـوده و در حـالحاضر روش غالب در شبيه سازياند. از معرو فترين روشهاي بـاجزء در حل مسائل مربوط به دريچه ميتوان به روشهاي تفاضل محدود و اجزاي محدود اشاره كرد [۶-۸].
با اين وجود، اين روشها داراي محـدوديتها و مـشكلاتي درمدل كردن مرزهاي قابل تغيير، مرزهاي متحرك و تعيـين دقيـقسطح آزاد سيال هستند. همچنين در اين روش براي اجـسام بـاهندسه پيچيـده مـشكل شـبكه بنـدي نايكنواخـت وجـود دارد. بنابراين فكر روش عددي كه مـستقل از شـبكه بنـدي در طـولحل عددي باشد، ايدهاي بـراي پديـد آمـدن نـسل جديـدي ازروشهاي عددي به نـام روشـهاي بـدون جـزء شـد [۹]. ايجـادروشهاي بدون جزء به ۷۰ سال پيش و به روش هم مكاني۵ بـازمي گردد [۱۰]. در اين روشها هيچ گونه جزءبندي از پيش تعيين شدهاي براي حل مسئله وجود نداشته و از يكسري نقاط پراكنده كه مي توانند ثابت يا متحرك باشند، در دامنه حـل و مرزهـا بـهمنظور بيان هندسه مسئله استفاده ميشود [۱۱].
در ميان روشهاي بدون جزء، روشSPH و روشهايي كه بـرپايه تصحيح آن هستند ، يكي از كارامـدترين روشـها در ديـدگاهلاگرانژي براي شبيه سازي حركت سيال با سـطح آزاد نـد [۱۲].
گينگولد و موناگان و به طـور مـستقل از آنهـا، لوسـي در سـال۱۹۷۷ براي اولـين بـار، روشSPH را در فيزيـك نجـوم بـرايمطالعه برخورد كهكشانها كه هيچ گونه مرزي نداشتند، بـه كـار بردند [۱۳و۱۴]. اساس كار آنها استفاده از روشي بود كه نياز بـهيك شب كه از پيش تعيين شده در محاسبه مـشتق نداشـته باشـد.
پس از آن كاربرد اين روش در حل مـسائل مك انيـك جامـداتگـسترش يافـت [۱۵و۱۶]. توانـايي ايـن روش بـدون جـزء در مدلسازي تغيير ش كلهاي زياد، باعث شد تـا عـلاوه بـر آن، ايـنروش در حل مسائل مكانيك سيالات به كار گرفته شود. اولـينكاربرد روشSPH در حـل مـسائل جريـان سـطح آزاد توسـطموناگان در سال ۱۹۹۴ براي شبيه سازي مسئله ش كـست امـواجصورت پذيرفت[۱۷]. پس از آن در سالهاي اخيـر از ايـن روشدر ساير مسائل سطح آزاد از جمله شبيه سازي مسائل شكـستسد، امواج بلند[۱۸]، امـواج حاصـل از زمـين لـرزه[۱۹]، شـبيهسازي جريان از روي سرريز لبه تيـز[۲۰] وجريـان از روي پلـه [۲۱] استفاده شده است. از روشSPH با فرض تـراكم پـذيريضعيف و برخي روشهاي بدون جـزء ديگـر نظيـر گـالركين درشـبيه سـازي جريـان عبـوري از دريچـه اسـتفاده شـده اسـت [۲۲ و ۲۳]. با در نظر گرفتن اين نكته كه جريـان سـطح آزاد دراطراف دريچه ها عموما به صورت تراكم ناپذير عمـل كـر ده، دراين تحقيق از روشSPH و با در نظر گرفتن تراكم ناپذيري، درشبيه سازي جريان از روي دريچه استفاده شده است.
استفاده از روشSPH در شبيه سازي سـيال تـراكم ناپـذيريكي از مسائل بحث بر انگيزي است كه محقق ان مختلف بـا آنروبرو شـده انـد . تـا كنـون چنـدين روش بـراي اعمـال شـرط تراكم ناپذيري در حل عـددي معـادلات جريـان بـر پايـه روشSPH مورد استفاده قرار گرفته كه در زير به معرفي آن ها پرداختـهمي شود[۲۴].
در روش اول كه در مدل كردن عبور آب از زير دريچه نيـزمورد استفاده قرار گرفته و به روشWCSPH ۶ معـروف بـوده،سيال ترا كم ناپذير به صورت سيال با تراكم پذيري ناچيز فرضمي شود. در اين روش به منظور محاسبه فشار، از معادله حالـتمناسب سيال استفاده ميشود. در اين معادله فـشار بـه صـورتصريح بر حسب چگالي و سرعت صوت در سـيال مـورد نظـرمحاسبه مي شود [۲۵]. حسن انجام اين كار برنامه نويـسي سـادهآن بـوده ولـيكن اسـتفاده از ايـن روش باعـث ايجـاد يكـسري مشكلات در حل عددي آن مي شـود. در ايـن روش بـه منظـورارضاي شرط تراكم ناپذيري( عدد ماخ كمتـر از ۱/۰) و كـ اهش نوسانات چگالي به كمتر از ۱%، سرعت عددي صـوت حـداقل۱۰ برابر بيشترين سرعت سيال در نظر گرفته ميشـود . بـا ايـنحال، به علت وجود جمله نسبت چگالي در هر گام زمـاني بـهصورت تواني در معادله حالت، نوسانات زياد فشار به صـورتغير فيزي كي ايجاد شده كه اين امر باعث ناپايداري حـل عـدديميشود. از طرفي در نظر گـرفتن معيـار پايـداري حـل عـددي (عدد كورانت) برمبناي سرعت صوت در سيال باعث مي شود تا پايداري عددي در گام زماني كوچكتري حاصل شده كـ ه نتيجـهآن افزايش مدت زمـان محاسـبات اسـت. عـدم ارضـاي شـرطتراكم ناپذيري به طور كامل در اين روش باعث ايجاد مـش كلاتي در رابطــه بــا انع كــاس امــواج صــوتي در مرزهــاي جامــدميشود[۲۶- ۲۸].
با توجه به مشكلات موجود در اين روش، به منظور ارضاي شرط ترا كم ناپذيري در مسائل سطح آزاد، كوشيزاكا و همكاران روش ديگري را با رويداشت به نگـرش لاگرانـژي كامـل ارائـهكردند كه به روش ذرات معروف است. در اين روش به منظـورمحاسبه دقيق فشار از روش شبه- پنالتي ۷ استفاده مي شود و اينفرمولاسيون تا جايي ادامه مييابد كه تغييرات چگالي در سـيالكمت ر از ي ك مق دار مع ين ش ود[۲۹]. در ادام ه كوش يزاكا و همكــاران روش MPS۸ را كــه در آن بــه جــاي اســتفاده از فرمولاسيون فوقالذكر از معادله پواسون بـراي محاسـبه دقيقتـرفشار استفاده ميكند، در حل مسئله شكست امواج مورد مطالعهقرار دادند و مشكلي مشابه موناگان يعني عدم شبيه سازي دقيقسطح آزاد را تجربه كردند[۳۰].
در ادامه روش ديگري كه به روشISPH ۹ معروف بـوده ودر آن تراكم ناپذيري سيال به طور كامل بر اساس روش تصويرحاصل شده، براي رفع مشكلات روشهاي قبلي ارائه شد. روش تصوير در حل معادلات در سيستم شبكه بندي شده اويلري بـهروشهاي عددي از جمله تفاضل محدود و حجم محدود به طورفراوان در گذشته مورد استفاده قرار گرفته اسـت[۳۱ و ۳۲]. امـااعمال اين روش در حل معادلات پايستاري ممنتم در روشـهايبدون جزء براي اولين بار توسط كامينز و رادمن در سـال ۱۹۹۹ ارائه شد[۲۸]. آنها ادعا داشـتند كـ ه ايـن روش (روش شـماره۱ تصوير) از نتايج دقيقتري نسبت به روش قبلي برخوردار اسـت.
در روش پيشنهادي، سرعت در هر گام زماني بر مبناي سـرعتدر گام قبلي و يك گام مياني محاسبه ميشد. با توجه بـه اين كـه در روش پيشنهادي محاسبه فشار با استفاده از معادله پواسـون وبا در نظر گرفتن جمله چـشمه براسـاس دايـورژانس۱۰ سـرعتاست، عملا ارضـاي معادلـه پيوسـتگي بـر مبنـاي صـفر شـدن تغييرات م كاني سرعت در اين معادله بوده و به همين دليل ايـنروش تصوير به روش ديورجانس آزاد سرعت۱۱ معروف است. از طرف ديگر هو و همكاران ادعا داشـتند كـ ه ايـن روش يـك روش دقيق در پيش بيني مطالعات موردي آنها بوده است[۲۴]. با توجه به اينكه روش تصوير در مقايسه بـا روشWCSPH ، بـهمنظور محاسبه فشار در هر گام زماني معادلـه بيـضوي فـشار راحل ميكند، لذا انتظار مي رود كه سرعت محاسباتي آن كمتـر ازروشWCSPH باشد. لي كن پارامتر ديگري كه در مـدت زمـانمحاسباتي روشهاي عددي تأثير گذار بـوده فـاكتور گـام زمـانياست. در روش تصوير محاسبه گام زماني براساس عدد كورانت و با در نظر گرفتن بيشترين سرعت ذرات سيال بوده كه حداقلده برابر كمتر از سرعت مورد استفاده در محاسـبه عـددكورانت براي روشWCSPH است. اين مـسئله باعـث مـيشـود تـا درمحاسبات عدد بر مبناي اين روش، گام زماني بزرگتـري منظـورشود و مدت زمان محاسبات كاهش يابد . با توجه بـه مطالعـاتهو و همكاران، در روش پيشنهادي كامينز و رادمن، در صورتيكه ناهمسانگردي فاصله بين ذرات افزايش يابد، پايـداري حـلعددي به خطر ميافتد. از طرفي باتوجه به اينكه جملـه چـشمهمعادله پواسون بـر اسـاس تغييـرات مكـ اني سـرعت در معادلـهپيوستگي است، لذا در صورت تغييـرات زيـاد چگـالي، تجمـع بيش از حد ذرات به صورت خطا در بعضي نقاط اتفـاق افتـادهودر طول محاسبات خطاي ناشي از آن افزايش مييابد[۲۴و۳۳].
به منظـور جلـوگيري از نوسـانات چگـالي در طـول شـبيهسازي، شائو و همكاران تغييرات چگالي نسبت بـه زمـان را بـهعنوان جمله چشمه جديد در معادله پواسون و در روش تصويرارائه دادند (روش تـصوير شـماره ۲). در واقـع در ايـن حالـتارضاي معادله پيوستگي بر مبناي صـفر شـدن تغييـرات زمـانيچگالي مدنظر قرار گرفته و به همـين دليـل ايـن روش بـه نـامچگالي نـامتغير ۱۲ معـروف اسـت[۳۴ و ۳۵]. در ادامـه عطـايي آشتياني و شبيري اصلاحيه اي را بر روي جمله معرفي شـده دراين روش قرار دادند كه نتايج را در حـل مـسائل سـطح آزاد ازجمله برخورد آب به ديواره بهبود ميبخشيد[۳۶]. بـا توجـه بـهنتايج تحقيقات انجام شده بر چند مورد مطالعاتي، اين روش بـربرخي مش كلات روش تصوير قبلي نظير تغييرات شديد چگـاليو مش كلات ناشي از توزيع نا يكنواخت ذرات غلبه كرده و باعثپايداري بهتر نسبت به مدل تصوير قبلي ميشود. اما دقت مـدلنسبت به مدل تصوير قبلي كاهش مي يابـد . بـه عـلاوه اينكـ ه درصورت استفاده از اين روش، معادله پيوستگي براساس تغييراتمكاني سرعت به ط ور كامل ارضا نمي شود[۲۴].
بـا توجـه بـه مـشكلات موجـود در دو روش قبلـي، روش تلفيقي براساس تركيب دو روش فوق الذكر يعني ارضاي معادلهپيوستگي در دو حالت تغييرات زماني چگالي و تغييرات مكاني سرعت در سال ۲۰۰۷ توسط هو و آدامز پيـشنهاد شـد[۳۷]. در اين روش حل معادله پواسون در هر گام زماني دو بـار صـورت ميگيرد. در مرحلـه اول ايـن معادلـه بـراي ارضـا صـفر شـدنتغييرات زماني چگالي و در مرتبه دوم اين معادلـه بـراي ارضـاصفر شدن تغييرات مكاني سـرعت در معادلـه پيوسـتگي مـورداستفاده قرار مي گيرد[۳۷]. با توجه به ارضـاي همزمـان ايـن دوتغيير، جوابه اي حاصـله از ايـن روش تـصوير در مـوارد مـوردمطالعه دقيق و پايدار بـوده ولـيكن دو بـار حـل كـردن معادلـهپواسـون در هـر گـام زمـاني باعـث افـزايش چـشمگير مـدت محاسبات گشته و اين به يكي از نقاط ضعف اين روش تبـديلشده است[۲۴].
با توجه به آنكه روشهاي بدون جزء با اعمال تراكم ناپذيري مبتني بر روش تصوير در حل مسائل دريچه مورد ارزيابي قـرارنگرفته انـد، در ايـن تحقيـق روشـهاي تـصوير ديورجـانس آزادســرعت، چگــالي نــامتغير از نظــر اســاس معــادلات و روشمحاسباتي با يكديگر مقايسه شده و تفاوتها و شباهتهاي اين دوشيوه بـا يكـ ديگر در مدلـسازي جريـان سـطح آزاد عبـوري ازدريچه براساس معادلات پايـستاري جـرم و ممنـتم بيـان شـده است. همچنين بر اسـاس نتـايج حاصـله، عملكـ رد شـيوه هـايمختلف ارائه جمله فشار در اين دسته از روشها براساس منحنيزمانمند خطا با يكديگر مقايسه شده است . روش با جزء حجـممحدود با رديابي سطح آزاد بر اساس روشVOF نيز به منظـوربررسي عمل كرد و مقايسه آن با اين دسته از روشهاي بدون جزء در شبيه سازي جريان سطح آزاد عبوري از دريچه مورد استفادهقرار گرفته است.
در اين تحقيق در قـسمت دوم معـادلات حـاكم در ديـدگاهلاگرانژي معرفي شده و در ادامـه در قـسمت سـوم روشSPH معرفي شود. روشهاي تصوير (۱) و (۲) و جزييـات مربـوط بـهشباهتها و تفاوتهاي آنها در قسمت چهارم تشريح ميشـوند . در بخش پنجم از اين تحقيـق نتـايج حاصـله از روشـهاي عـددي فوق الذكر در مسئله جريان سطح آزاد عبـوري از دريچـه مـوردبررسي و در آخر نتيجه گيري و بحث در رابطه بـا ايـن تحقيـقانجام مي پذيرد.

۲- معادلات حاكم بر جريان
معادلات پايستاري جرم و ممنتم بـه صـورت دو بعـدي بـهعنوان معادلات حا كم بر سيال در نظر گرفتـه مـي شـود. در ايـنمعادلات توزيع فشار در سيال به صورت غير هيدرواستاتيك درنظر گرفته ميشود. اين معادلات در ديدگاه لاگرانژي به صورتزير نوشته ميشود[۳۱]:
7772145865

D
1
.(
0
V
)
Dt
ρ

=
+
ρ

DV
P
1
.
g
Dt

∇τ
=−
+
+
ρ
ρ
G
G

D

1

.(

0

V

)

Dt

ρ

=



قیمت: تومان


دیدگاهتان را بنویسید